Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $KBCP$. По условию задачи его вершины лежат на одной окружности. Из свойств вписанного четырёхугольника мы знаем, что сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$. Следовательно, $\angle KBC + \angle KPC = 180^{\circ}$.

2. Углы $\angle APK$ и $\angle KPC$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^{\circ}$. Отсюда следует, что $\angle APK = 180^{\circ} - \angle KPC$. Сравнивая это с предыдущим выводом, получаем, что $\angle APK = \angle KBC$.

3. Теперь рассмотрим треугольники $AKP$ и $ACB$. У них:
— угол $\angle A$ — общий;
— $\angle APK = \angle ABC$ (как было доказано выше).
Значит, треугольники $AKP$ и $ACB$ подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

4. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон. Запишем отношение сторон, лежащих против равных углов:
$\frac{AK}{AC} = \frac{KP}{BC}$.

5. По условию задачи сторона $AC$ в $1,5$ раза больше стороны $BC$. Это можно записать в виде уравнения: $AC = 1,5 \cdot BC$. Подставим это выражение в нашу пропорцию:
$\frac{AK}{1,5 \cdot BC} = \frac{KP}{BC}$.

6. Сократим обе части уравнения на $BC$ (так как длина стороны не равна нулю):
$\frac{AK}{1,5} = KP$.

7. Подставим известное значение $AK = 6$:
$KP = \frac{6}{1,5}$.
Выполним деление: $6 : 1,5 = 60 : 15 = 4$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ