Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность с центром на стороне A C треугольника A B C проходит через вершину C и касается прямой A B в точке B . Найдите A C , если диаметр окружност…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
На стороне B C остроугольного треугольника A B C как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту A D в точке M , A D = 9 , M D = 6 , H —…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В трапеции A B C D боковая сторона A B перпендикулярна основанию B C . Окружность проходит через точки C и D и касается прямой A B в точке E . Найдите…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

Окружность пересекает стороны $A B$ и $A C$ треугольника $A B C$ в точках $K$
и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$ . Найдите длину отрезка $K P$ , если $A K = 6$ , а сторона $A C$ в 1,5 раза больше стороны $B C$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $KBCP$ . По условию задачи его вершины лежат на одной окружности. Из свойств вписанного четырёхугольника мы знаем, что сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$ . Следовательно, $\angle KBC + \angle KPC = 180^{\circ}$ .

2. Углы $\angle APK$ и $\angle KPC$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^{\circ}$ . Отсюда следует, что $\angle APK = 180^{\circ} - \angle KPC$ . Сравнивая это с предыдущим выводом, получаем, что $\angle APK = \angle KBC$ .

3. Теперь рассмотрим треугольники $AKP$ и $ACB$ . У них:
— угол $\angle A$ — общий;
— $\angle APK = \angle ABC$ (как было доказано выше).
Значит, треугольники $AKP$ и $ACB$ подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

4. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон. Запишем отношение сторон, лежащих против равных углов:
$\frac{AK}{AC} = \frac{KP}{BC}$ .

5. По условию задачи сторона $AC$ в $1,5$ раза больше стороны $BC$ . Это можно записать в виде уравнения: $AC = 1,5 \cdot BC$ . Подставим это выражение в нашу пропорцию:
$\frac{AK}{1,5 \cdot BC} = \frac{KP}{BC}$ .

6. Сократим обе части уравнения на $BC$ (так как длина стороны не равна нулю):
$\frac{AK}{1,5} = KP$ .

7. Подставим известное значение $AK = 6$ :
$KP = \frac{6}{1,5}$ .
Выполним деление: $6 : 1,5 = 60 : 15 = 4$ .

Ответ: 4

Источник: ФИПИ