Задание №24 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$. По условию задачи они равны: $\angle ABD = \angle ACD$. Заметим, что эти углы опираются на один и тот же отрезок $AD$, и их вершины $B$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $AD$.

2. В геометрии существует важный признак: если отрезок $AD$ виден из двух точек $B$ и $C$, лежащих по одну сторону от него, под равными углами, то точки $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат на одной окружности.

3. Таким образом, четырёхугольник $ABCD$ является вписанным в некоторую окружность. Это означает, что все его вершины лежат на этой окружности, а стороны и диагонали являются хордами.

4. Теперь рассмотрим углы $\angle DAC$ и $\angle DBC$. В данной окружности эти углы являются вписанными. Оба этих угла опираются на одну и ту же дугу — дугу $DC$.

5. По свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны. Следовательно, $\angle DAC = \angle DBC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ