Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

В выпуклом четырёхугольнике $A B C D$ углы $A B D$ и $A C D$ равны. Докажите, что углы $D A C$ и $D B C$ также равны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$ . По условию задачи они равны: $\angle ABD = \angle ACD$ . Заметим, что эти углы опираются на один и тот же отрезок $AD$ , и их вершины $B$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $AD$ .

2. В геометрии существует важный признак: если отрезок $AD$ виден из двух точек $B$ и $C$ , лежащих по одну сторону от него, под равными углами, то точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ лежат на одной окружности.

3. Таким образом, четырёхугольник $ABCD$ является вписанным в некоторую окружность. Это означает, что все его вершины лежат на этой окружности, а стороны и диагонали являются хордами.

4. Теперь рассмотрим углы $\angle DAC$ и $\angle DBC$ . В данной окружности эти углы являются вписанными. Оба этих угла опираются на одну и ту же дугу — дугу $DC$ .

5. По свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны. Следовательно, $\angle DAC = \angle DBC$ , что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ