Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

В выпуклом четырёхугольнике $A B C D$ углы $A B D$ и $A C D$ равны. Докажите, что углы $D A C$ и $D B C$ также равны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$ . По условию задачи они равны: $\angle ABD = \angle ACD$ . Заметим, что эти углы опираются на один и тот же отрезок $AD$ , и их вершины $B$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $AD$ .

2. В геометрии существует важный признак: если отрезок $AD$ виден из двух точек $B$ и $C$ , лежащих по одну сторону от него, под равными углами, то точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ лежат на одной окружности.

3. Таким образом, четырёхугольник $ABCD$ является вписанным в некоторую окружность. Это означает, что все его вершины лежат на этой окружности, а стороны и диагонали являются хордами.

4. Теперь рассмотрим углы $\angle DAC$ и $\angle DBC$ . В данной окружности эти углы являются вписанными. Оба этих угла опираются на одну и ту же дугу — дугу $DC$ .

5. По свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны. Следовательно, $\angle DAC = \angle DBC$ , что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ