Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $(x - 6)^{2} < \sqrt{10}(x - 6)$.

Шаг 1. Перенос всех слагаемых в одну часть.
Для решения неравенства перенесём выражение из правой части в левую с противоположным знаком, чтобы справа остался нуль:
$(x - 6)^{2} - \sqrt{10}(x - 6) < 0$.

Шаг 2. Разложение на множители.
Заметим, что в левой части есть общий множитель $(x - 6)$. Вынесем его за скобки:
$(x - 6) \cdot ((x - 6) - \sqrt{10}) < 0$,
$(x - 6)(x - 6 - \sqrt{10}) < 0$.

Шаг 3. Нахождение корней соответствующего уравнения.
Приравняем левую часть к нулю, чтобы найти критические точки на числовой прямой:
$(x - 6)(x - (6 + \sqrt{10})) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x - 6 = 0 \Rightarrow x_{1} = 6$;
2) $x - (6 + \sqrt{10}) = 0 \Rightarrow x_{2} = 6 + \sqrt{10}$.

Шаг 4. Решение методом интервалов.
Отметим полученные точки на числовой оси. Так как неравенство строгое (знак $<$), точки будут «выколотыми» (пустыми). Эти точки разбивают ось на три промежутка: $(-\infty; 6)$, $(6; 6 + \sqrt{10})$ и $(6 + \sqrt{10}; +\infty)$.
Левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию, график которой — парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^{2}$ положителен). Значит, на крайних промежутках функция принимает положительные значения, а на среднем — отрицательные.
Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше нуля. Это соответствует интервалу между корнями.

Следовательно, $6 < x < 6 + \sqrt{10}$.

Ответ: $(6; 6 + \sqrt{10})$

Источник: ФИПИ