Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $O$ — центр окружности. Проведём перпендикуляры из центра окружности к хордам: $OH$ к хорде $AB$ и $OK$ к хорде $CD$. По условию задачи $OH = 24$. Отрезок $OK$ — это искомое расстояние от центра до хорды $CD$.

2. Вспомним свойство: перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам.
Следовательно, точка $H$ делит $AB$ пополам: $AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{36}{2} = 18$.
Аналогично, точка $K$ делит $CD$ пополам: $CK = KD = \frac{CD}{2} = \frac{48}{2} = 24$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $H = 90^\circ$). В нём катеты $AH = 18$ и $OH = 24$. Гипотенуза $AO$ является радиусом окружности $R$.
По теореме Пифагора:
$AO^2 = AH^2 + OH^2$
$R^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900$
$R = \sqrt{900} = 30$.

4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $COK$ (угол $K = 90^\circ$). В нём гипотенуза $CO$ также является радиусом окружности, то есть $CO = R = 30$. Катет $CK = 24$.
Найдём искомый катет $OK$ по теореме Пифагора:
$OK^2 = CO^2 - CK^2$
$OK^2 = 30^2 - 24^2 = 900 - 576 = 324$
$OK = \sqrt{324} = 18$.

Таким образом, расстояние от центра окружности до хорды $CD$ равно 18.

Ответ: 18

Источник: ФИПИ