Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данный ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. По свойствам ромба диагонали взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и точкой пересечения делятся пополам. Пусть для определенности диагональ $BD = 68$. Тогда $BO = OD = 68 : 2 = 34$.

2) Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OH$ к стороне $AB$. По условию $OH = 17$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ (угол $AOB = 90^\circ$). В нем отрезок $OH$ является высотой, проведенной к гипотенузе $AB$. Однако для нахождения углов удобнее рассмотреть прямоугольный треугольник $OHB$, где угол $OHB = 90^\circ$.

4) В прямоугольном треугольнике $OHB$ гипотенуза $BO = 34$, а катет $OH = 17$. Заметим, что катет $OH$ в два раза меньше гипотенузы $BO$ ($17 = 34 : 2$). По свойству прямоугольного треугольника, если катет в два раза меньше гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$. Значит, $\angle OBH = 30^\circ$.

5) Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то угол $ABC = 2 \cdot \angle OBH = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$. Таким образом, один из углов ромба равен $60^\circ$.

6) Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$. Следовательно, второй угол ромба $\angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Противолежащие углы ромба равны, значит, углы ромба равны $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

Ответ: 60^\circ; 120^\circ

Источник: ФИПИ