Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию угол $B$ — прямой, то есть $\angle ABC = 90^{\circ}$. Отрезок $BH$ является высотой, проведённой к гипотенузе $AC$.

2) Рассмотрим четырёхугольник $PBKH$. По условию точки $P$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $CB$ соответственно. Так как $\angle ABC = 90^{\circ}$, то и $\angle PBK = 90^{\circ}$.

3) Точки $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH$. Угол $\angle PBK$ является вписанным в эту окружность, так как его вершина $B$ лежит на окружности (поскольку $BH$ — диаметр, точка $B$ принадлежит окружности), а стороны пересекают окружность в точках $P$ и $K$.

4) Известно, что вписанный угол, равный $90^{\circ}$, опирается на диаметр окружности. Следовательно, отрезок $PK$, соединяющий точки $P$ и $K$, является диаметром данной окружности.

5) Таким образом, и $BH$, и $PK$ являются диаметрами одной и той же окружности. В любой окружности все диаметры равны между собой.

6) По условию задачи $PK = 12$. Следовательно, $BH = PK = 12$.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ