Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения данного неравенства проанализируем структуру дроби $\frac{-12}{(x - 1)^2 - 2} \geq 0$.

Шаг 1. Анализ знака дроби.
Дробь больше или равна нулю, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (оба положительны или оба отрицательны).
Заметим, что числитель дроби равен $-12$. Это отрицательное число ($-12 < 0$).
Чтобы вся дробь была больше или равна нулю, знаменатель обязан быть также отрицательным. При этом знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Шаг 2. Переход к неравенству для знаменателя.
Следовательно, исходное неравенство равносильно условию:
$(x - 1)^2 - 2 < 0$

Шаг 3. Решение полученного неравенства.
Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Представим число $2$ как $(\sqrt{2})^2$:
$(x - 1)^2 - (\sqrt{2})^2 < 0$
$(x - 1 - \sqrt{2})(x - 1 + \sqrt{2}) < 0$

Шаг 4. Метод интервалов.
Найдём корни уравнения $(x - 1 - \sqrt{2})(x - 1 + \sqrt{2}) = 0$:
1) $x - 1 - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow x_1 = 1 + \sqrt{2}$
2) $x - 1 + \sqrt{2} = 0 \Rightarrow x_2 = 1 - \sqrt{2}$

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 1 - \sqrt{2})$, $(1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2})$ и $(1 + \sqrt{2}; +\infty)$.
Так как перед $x^2$ стоит положительный коэффициент, графиком функции $f(x) = (x - 1)^2 - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, выражение принимает отрицательные значения между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал: $1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$.

Ответ: $(1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2})$

Источник: ФИПИ