Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $(x - 3)^2 < \sqrt{5}(x - 3)$.

Шаг 1. Перенос всех слагаемых в одну часть.
Для решения неравенства перенесём выражение из правой части в левую, чтобы справа остался ноль. При переносе знак слагаемого меняется на противоположный:
$(x - 3)^2 - \sqrt{5}(x - 3) < 0$.

Шаг 2. Разложение на множители.
Заметим, что в левой части оба слагаемых содержат общий множитель $(x - 3)$. Вынесем его за скобки:
$(x - 3) \cdot ((x - 3) - \sqrt{5}) < 0$,
$(x - 3)(x - 3 - \sqrt{5}) < 0$.

Шаг 3. Нахождение корней уравнения.
Приравняем левую часть к нулю, чтобы найти критические точки на числовой прямой:
$(x - 3)(x - 3 - \sqrt{5}) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3$;
2) $x - 3 - \sqrt{5} = 0 \Rightarrow x_2 = 3 + \sqrt{5}$.

Шаг 4. Определение знаков на интервалах (метод интервалов).
Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($<$), точки будут "выколотыми" (пустыми). Эти точки разбивают прямую на три интервала:
1) $(-\infty; 3)$
2) $(3; 3 + \sqrt{5})$
3) $(3 + \sqrt{5}; +\infty)$

Проверим знак выражения $(x - 3)(x - (3 + \sqrt{5}))$ на каждом интервале:
— Возьмём $x = 10$ из правого интервала: $(10-3)(10-3-\sqrt{5}) > 0$. Знак «+».
— Возьмём $x = 4$ из среднего интервала (так как $\sqrt{5} \approx 2,2$, то $3 + \sqrt{5} \approx 5,2$): $(4-3)(4-3-\sqrt{5}) = 1 \cdot (1-\sqrt{5})$. Так как $1 < \sqrt{5}$, результат отрицательный. Знак «−».
— Возьмём $x = 0$ из левого интервала: $(0-3)(0-3-\sqrt{5}) = (-3) \cdot (-3-\sqrt{5}) > 0$. Знак «+».

Шаг 5. Выбор нужного промежутка.
Нас интересует область, где выражение меньше нуля ($< 0$). Это интервал между корнями: $(3; 3 + \sqrt{5})$.

Ответ: $(3; 3 + \sqrt{5})$

Источник: ФИПИ