Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Пусть в прямоугольном треугольнике катет $a = 20$, а гипотенуза $c = 52$. Обозначим второй катет через $b$. Чтобы найти высоту, проведённую к гипотенузе, нам сначала необходимо вычислить длину второго катета.

2. Воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотензы. $a^2 + b^2 = c^2$.
Подставим известные значения:
$20^2 + b^2 = 52^2$
$400 + b^2 = 2704$
$b^2 = 2704 - 400$
$b^2 = 2304$
$b = \sqrt{2304} = 48$.

3. Теперь найдём площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:
— как половину произведения катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$;
— как половину произведения гипотенузы на высоту, проведённую к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$.

4. Приравняем эти выражения, чтобы найти высоту $h$:
$\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$
Отсюда выразим высоту:
$h = \frac{a \cdot b}{c}$.

5. Подставим числовые значения в формулу:
$h = \frac{20 \cdot 48}{52}$.
Сократим дробь. Сначала сократим 48 и 52 на 4:
$h = \frac{20 \cdot 12}{13}$
$h = \frac{240}{13}$.

6. Выделим целую часть из полученной дроби:
$240 : 13 = 18$ (остаток 6).
Следовательно, $h = 18\frac{6}{13}$.

Ответ: $18\frac{6}{13}$

Источник: ФИПИ