Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23Среднее
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Среднее
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD…
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

Пусть $ABCD$ — данный ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. По свойствам ромба диагонали взаимно перпендикулярны ( $AC \perp BD$ ) и точкой пересечения делятся пополам. Пусть диагональ $BD = 72$ . Тогда $BO = OD = 72 : 2 = 36$ .

Проведём из точки $O$ перпендикуляр $OH$ к стороне $AB$ . По условию задачи расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны равно 18, значит, $OH = 18$ .

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOH$ (угол $H = 90^\circ$ ). В этом треугольнике сторона $OH$ является катетом, а $BO$ — гипотенузой. Заметим, что:
$\sin(\angle OBH) = \frac{OH}{BO} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ .

Так как синус угла равен $\frac{1}{2}$ , то угол $\angle OBH = 30^\circ$ . Угол $\angle OBH$ — это то же самое, что угол $\angle ABD$ .

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Следовательно, угол $\angle ABC = 2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$ .

Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$ . Найдём второй угол ромба:
$\angle BAD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ .

Противоположные углы ромба равны, значит, углы ромба равны $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$ .

Ответ: 60; 120.

Источник: ФИПИ