Задание №23 — Геометрия

Решение.

Пусть $ABCD$ — данный ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. По свойствам ромба диагонали взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и точкой пересечения делятся пополам. Пусть диагональ $BD = 72$. Тогда $BO = OD = 72 : 2 = 36$.

Проведём из точки $O$ перпендикуляр $OH$ к стороне $AB$. По условию задачи расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны равно 18, значит, $OH = 18$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOH$ (угол $H = 90^\circ$). В этом треугольнике сторона $OH$ является катетом, а $BO$ — гипотенузой. Заметим, что:
$\sin(\angle OBH) = \frac{OH}{BO} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

Так как синус угла равен $\frac{1}{2}$, то угол $\angle OBH = 30^\circ$. Угол $\angle OBH$ — это то же самое, что угол $\angle ABD$.

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Следовательно, угол $\angle ABC = 2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Найдём второй угол ромба:
$\angle BAD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Противоположные углы ромба равны, значит, углы ромба равны $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

Ответ: 60; 120.

Источник: ФИПИ