Задание №24 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DBC$. У этих треугольников общее основание — сторона $BC$. Также их высоты, опущенные из вершин $A$ и $D$ на прямую $BC$, равны, так как основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны (расстояние между параллельными прямыми постоянно).

2. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$. Так как у треугольников $ABC$ и $DBC$ общее основание и равные высоты, их площади равны:
$S_{ABC} = S_{DBC}$.

3. Заметим, что треугольник $ABC$ состоит из двух частей: треугольника $APB$ и треугольника $BPC$. То есть:
$S_{ABC} = S_{APB} + S_{BPC}$.

4. Аналогично, треугольник $DBC$ состоит из треугольника $CPD$ и того же самого треугольника $BPC$:
$S_{DBC} = S_{CPD} + S_{BPC}$.

5. Так как $S_{ABC} = S_{DBC}$, мы можем приравнять правые части выражений:
$S_{APB} + S_{BPC} = S_{CPD} + S_{BPC}$.

6. Вычтем из обеих частей равенства площадь общего треугольника $BPC$:
$S_{APB} = S_{CPD}$.

Таким образом, площади треугольников $APB$ и $CPD$ равны, что и требовалось доказать.

Ответ: что и требовалось доказать.

Источник: ФИПИ