Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

В трапеции $A B C D$ с основаниями $A D$ и $B C$ диагонали пересекаются
в точке $P$ . Докажите, что площади треугольников $A P B$ и $C P D$ равны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DBC$ . У этих треугольников общее основание — сторона $BC$ . Также их высоты, опущенные из вершин $A$ и $D$ на прямую $BC$ , равны, так как основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны (расстояние между параллельными прямыми постоянно).

2. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ . Так как у треугольников $ABC$ и $DBC$ общее основание и равные высоты, их площади равны:
$S_{ABC} = S_{DBC}$ .

3. Заметим, что треугольник $ABC$ состоит из двух частей: треугольника $APB$ и треугольника $BPC$ . То есть:
$S_{ABC} = S_{APB} + S_{BPC}$ .

4. Аналогично, треугольник $DBC$ состоит из треугольника $CPD$ и того же самого треугольника $BPC$ :
$S_{DBC} = S_{CPD} + S_{BPC}$ .

5. Так как $S_{ABC} = S_{DBC}$ , мы можем приравнять правые части выражений:
$S_{APB} + S_{BPC} = S_{CPD} + S_{BPC}$ .

6. Вычтем из обеих частей равенства площадь общего треугольника $BPC$ :
$S_{APB} = S_{CPD}$ .

Таким образом, площади треугольников $APB$ и $CPD$ равны, что и требовалось доказать.

Ответ: что и требовалось доказать.

Источник: ФИПИ