Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

В трапеции $A B C D$ с основаниями $A D$ и $B C$ диагонали пересекаются
в точке $P$ . Докажите, что площади треугольников $A P B$ и $C P D$ равны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DBC$ . У этих треугольников общее основание — сторона $BC$ . Также их высоты, опущенные из вершин $A$ и $D$ на прямую $BC$ , равны, так как основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны (расстояние между параллельными прямыми постоянно).

2. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ . Так как у треугольников $ABC$ и $DBC$ общее основание и равные высоты, их площади равны:
$S_{ABC} = S_{DBC}$ .

3. Заметим, что треугольник $ABC$ состоит из двух частей: треугольника $APB$ и треугольника $BPC$ . То есть:
$S_{ABC} = S_{APB} + S_{BPC}$ .

4. Аналогично, треугольник $DBC$ состоит из треугольника $CPD$ и того же самого треугольника $BPC$ :
$S_{DBC} = S_{CPD} + S_{BPC}$ .

5. Так как $S_{ABC} = S_{DBC}$ , мы можем приравнять правые части выражений:
$S_{APB} + S_{BPC} = S_{CPD} + S_{BPC}$ .

6. Вычтем из обеих частей равенства площадь общего треугольника $BPC$ :
$S_{APB} = S_{CPD}$ .

Таким образом, площади треугольников $APB$ и $CPD$ равны, что и требовалось доказать.

Ответ: что и требовалось доказать.

Источник: ФИПИ