Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи. По условию задачи скорость течения реки равна $5$ км/ч. Тогда скорость баржи по течению реки составляет $x + 5$ км/ч, а скорость баржи против течения реки — $x - 5$ км/ч. По смыслу задачи $x > 5$.

1) Составим выражение для времени, затраченного на каждый участок пути:
- Время на путь по течению (80 км): $t_1 = \frac{80}{x + 5}$ ч.
- Время на путь против течения (60 км): $t_2 = \frac{60}{x - 5}$ ч.

2) По условию задачи общее время в пути составило 10 часов. Составим уравнение:
$\frac{80}{x + 5} + \frac{60}{x - 5} = 10$

3) Разделим обе части уравнения на 10 для упрощения вычислений:
$\frac{8}{x + 5} + \frac{6}{x - 5} = 1$

4) Приведем дроби к общему знаменателю $(x + 5)(x - 5)$:
$\frac{8(x - 5) + 6(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = 1$
$8x - 40 + 6x + 30 = (x + 5)(x - 5)$
$14x - 10 = x^2 - 25$

5) Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 14x - 15 = 0$

6) Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета:
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 14$
$x_1 \cdot x_2 = -15$
Отсюда получаем корни: $x_1 = 15$, $x_2 = -1$.

7) Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x = -1$ не подходит по смыслу задачи. Значит, собственная скорость баржи равна 15 км/ч.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ