Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. По условию задачи скорость течения реки равна $5$ км/ч. Тогда скорость теплохода по течению реки составляет $x + 5$ км/ч, а скорость против течения — $x - 5$ км/ч. По смыслу задачи $x > 5$.

Шаг 1. Определим время, затраченное на движение.
Теплоход находился в пути всего $32$ часа, но из них $21$ час он стоял. Значит, чистое время движения составляет:
$32 - 21 = 11$ (часов).

Шаг 2. Составим уравнение.
Расстояние в одну сторону равно $132$ км. Время, затраченное на путь по течению, равно $\frac{132}{x + 5}$, а время на обратный путь против течения — $\frac{132}{x - 5}$. Сумма этих времён равна общему времени движения:
$\frac{132}{x + 5} + \frac{132}{x - 5} = 11$

Шаг 3. Решим полученное уравнение.
Разделим обе части уравнения на $11$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{12}{x + 5} + \frac{12}{x - 5} = 1$
Приведём дроби к общему знаменателю $(x + 5)(x - 5)$:
$\frac{12(x - 5) + 12(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = 1$
$\frac{12x - 60 + 12x + 60}{x^2 - 25} = 1$
$\frac{24x}{x^2 - 25} = 1$
Перейдём к квадратному уравнению:
$x^2 - 25 = 24x$
$x^2 - 24x - 25 = 0$

Шаг 4. Найдём корни квадратного уравнения.
Воспользуемся теоремой Виета или формулой дискриминанта:
$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676$
$\sqrt{D} = 26$
$x_1 = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$x_2 = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x = -1$ не подходит по условию задачи.

Таким образом, скорость теплохода в неподвижной воде равна $25$ км/ч.

Ответ: 25

Источник: ФИПИ