Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $PBKH$. По условию задачи окружность построена на высоте $BH$ как на диаметре. Точки $P$ и $K$ лежат на этой окружности, а также на сторонах $AB$ и $CB$ соответственно.

2. Угол $BPH$ является вписанным и опирается на диаметр $BH$. Следовательно, $\angle BPH = 90^\circ$. Это означает, что отрезок $HP$ перпендикулярен стороне $AB$.

3. Аналогично, угол $BKH$ является вписанным и опирается на диаметр $BH$. Следовательно, $\angle BKH = 90^\circ$. Это означает, что отрезок $HK$ перпендикулярен стороне $CB$.

4. Рассмотрим четырёхугольник $PBKH$. В нём три угла прямые: $\angle PBK = 90^\circ$ (по условию треугольник $ABC$ прямоугольный), $\angle BPH = 90^\circ$ и $\angle BKH = 90^\circ$. Если у четырёхугольника три угла прямые, то он является прямоугольником.

5. В прямоугольнике диагонали равны. Отрезки $BH$ и $PK$ являются диагоналями прямоугольника $PBKH$. Следовательно, $BH = PK$.

6. По условию задачи $PK = 15$. Значит, и длина высоты $BH$ также равна $15$.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ