Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость моторной лодки (скорость в неподвижной воде). Тогда скорость лодки по течению реки равна $x + 4$ км/ч, а скорость лодки против течения реки равна $x - 4$ км/ч. По условию задачи $x > 4$, так как лодка смогла вернуться обратно против течения.

1) Сначала найдём время, которое находился в пути плот. Плот движется со скоростью течения реки, то есть его скорость равна $4$ км/ч. Зная, что он проплыл $36$ км, вычислим время его движения:
$t_{плота} = \frac{36}{4} = 9$ (часов).

2) Моторная лодка вышла из пункта А на один час позже плота и вернулась обратно в тот же момент, когда плот закончил своё движение. Значит, лодка находилась в пути на $1$ час меньше, чем плот:
$t_{лодки} = 9 - 1 = 8$ (часов).

3) Составим уравнение для времени движения лодки. Лодка прошла путь от А до В ($126$ км) по течению и путь от В до А ($126$ км) против течения. Суммарное время равно $8$ часам:
$\frac{126}{x + 4} + \frac{126}{x - 4} = 8$

4) Решим полученное уравнение. Разделим обе части уравнения на $2$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{63}{x + 4} + \frac{63}{x - 4} = 4$
Приведём дроби к общему знаменателю $(x - 4)(x + 4) = x^2 - 16$:
$\frac{63(x - 4) + 63(x + 4)}{x^2 - 16} = 4$
$\frac{63x - 252 + 63x + 252}{x^2 - 16} = 4$
$\frac{126x}{x^2 - 16} = 4$
$126x = 4(x^2 - 16)$
$126x = 4x^2 - 64$
$4x^2 - 126x - 64 = 0$
Разделим всё уравнение на $2$:
$2x^2 - 63x - 32 = 0$

5) Найдём дискриминант квадратного уравнения:
$D = (-63)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-32) = 3969 + 256 = 4225$
$\sqrt{D} = \sqrt{4225} = 65$

6) Вычислим корни уравнения:
$x_1 = \frac{63 + 65}{2 \cdot 2} = \frac{128}{4} = 32$
$x_2 = \frac{63 - 65}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$
Так как скорость лодки не может быть отрицательной, нам подходит только корень $x = 32$.

Ответ: 32 км/ч

Источник: ФИПИ