Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данная трапеция с основаниями $BC = 16$ и $AD = 48$. Прямая $EF$ параллельна основаниям, при этом точка $E$ лежит на $AB$, а $F$ — на $CD$. По условию $CF : DF = 5 : 3$. Обозначим $CF = 5x$, тогда $DF = 3x$. Следовательно, вся боковая сторона $CD = CF + DF = 5x + 3x = 8x$.

2) Проведём дополнительное построение: проведём отрезок $CG$ параллельно боковой стороне $AB$, где точка $G$ лежит на основании $AD$. Пусть этот отрезок пересекает $EF$ в точке $K$.

3) Рассмотрим четырёхугольники $EBCK$ и $ABCG$. Так как $BC \parallel EK \parallel AG$ и $AB \parallel CK \parallel CG$, то $EBCK$ и $ABCG$ — параллелограммы. По свойствам параллелограмма противоположные стороны равны: $EK = BC = 16$ и $AG = BC = 16$.

4) Найдём длину отрезка $GD$: $GD = AD - AG = 48 - 16 = 32$.

5) Рассмотрим треугольник $CGD$. Отрезок $KF$ параллелен $GD$ (так как $EF \parallel AD$). Значит, треугольник $CKF$ подобен треугольнику $CGD$ по двум углам (угол $C$ — общий, $\angle CFK = \angle CDG$ как соответственные при параллельных прямых).

6) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{KF}{GD} = \frac{CF}{CD}$.
Подставим известные значения: $\frac{KF}{32} = \frac{5x}{8x}$.
Сократим на $x$: $\frac{KF}{32} = \frac{5}{8}$.
Отсюда $KF = \frac{32 \cdot 5}{8} = 4 \cdot 5 = 20$.

7) Длина искомого отрезка $EF$ складывается из длин отрезков $EK$ и $KF$:
$EF = EK + KF = 16 + 20 = 36$.

Ответ: 36

Источник: ФИПИ