Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23Среднее
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Среднее
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD…
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Прямая, параллельная основаниям трапеции $A B C D$ , пересекает её боковые стороны $A B$ и $C D$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину
отрезка $E F$ , если $A D = 48$ , $B C = 16$ , $C F : D F = 5 : 3$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данная трапеция с основаниями $BC = 16$ и $AD = 48$ . Прямая $EF$ параллельна основаниям, при этом точка $E$ лежит на $AB$ , а $F$ — на $CD$ . По условию $CF : DF = 5 : 3$ . Обозначим $CF = 5x$ , тогда $DF = 3x$ . Следовательно, вся боковая сторона $CD = CF + DF = 5x + 3x = 8x$ .

2) Проведём дополнительное построение: проведём отрезок $CG$ параллельно боковой стороне $AB$ , где точка $G$ лежит на основании $AD$ . Пусть этот отрезок пересекает $EF$ в точке $K$ .

3) Рассмотрим четырёхугольники $EBCK$ и $ABCG$ . Так как $BC \parallel EK \parallel AG$ и $AB \parallel CK \parallel CG$ , то $EBCK$ и $ABCG$ — параллелограммы. По свойствам параллелограмма противоположные стороны равны: $EK = BC = 16$ и $AG = BC = 16$ .

4) Найдём длину отрезка $GD$ : $GD = AD - AG = 48 - 16 = 32$ .

5) Рассмотрим треугольник $CGD$ . Отрезок $KF$ параллелен $GD$ (так как $EF \parallel AD$ ). Значит, треугольник $CKF$ подобен треугольнику $CGD$ по двум углам (угол $C$ — общий, $\angle CFK = \angle CDG$ как соответственные при параллельных прямых).

6) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{KF}{GD} = \frac{CF}{CD}$ .
Подставим известные значения: $\frac{KF}{32} = \frac{5x}{8x}$ .
Сократим на $x$ : $\frac{KF}{32} = \frac{5}{8}$ .
Отсюда $KF = \frac{32 \cdot 5}{8} = 4 \cdot 5 = 20$ .

7) Длина искомого отрезка $EF$ складывается из длин отрезков $EK$ и $KF$ :
$EF = EK + KF = 16 + 20 = 36$ .

Ответ: 36

Источник: ФИПИ