Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 45 \\ 9x^2 + 6y^2 = 45x \end{cases}$

Шаг 1. Преобразуем второе уравнение.
Заметим, что в левой части второго уравнения коэффициенты в 3 раза больше, чем в первом. Вынесем общий множитель $3$ за скобки в левой части второго уравнения:
$3(3x^2 + 2y^2) = 45x$

Шаг 2. Используем метод подстановки.
Из первого уравнения системы мы знаем, что выражение $3x^2 + 2y^2$ равно $45$. Подставим это значение во второе уравнение вместо выражения в скобках:
$3 \cdot 45 = 45x$

Шаг 3. Находим значение $x$.
Разделим обе части уравнения на $45$:
$3 = x$, то есть $x = 3$.

Шаг 4. Находим значения $y$.
Подставим найденное значение $x = 3$ в первое уравнение системы:
$3 \cdot 3^2 + 2y^2 = 45$
$3 \cdot 9 + 2y^2 = 45$
$27 + 2y^2 = 45$
Перенесем $27$ в правую часть с противоположным знаком:
$2y^2 = 45 - 27$
$2y^2 = 18$
Разделим на $2$:
$y^2 = 9$
Отсюда получаем два возможных значения для $y$:
$y_1 = 3$
$y_2 = -3$

Шаг 5. Записываем ответ.
Мы получили две пары решений: при $x = 3$ значение $y$ может быть равно $3$ или $-3$. Запишем их в виде координат $(x; y)$.

Ответ: (3; 3), (3; -3)

Источник: ФИПИ