Задание №20 — Уравнения и неравенства

#48020Задание №20ФИПИ

Уравнения и системы

Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l} 3 x^{2} + 2 y^{2} = 45, \\ 9 x^{2} + 6 y^{2} = 45 x . \end{array}\right.$

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 45 \\ 9x^2 + 6y^2 = 45x \end{cases}$

Шаг 1. Преобразуем второе уравнение.
Заметим, что в левой части второго уравнения коэффициенты в 3 раза больше, чем в первом. Вынесем общий множитель $3$ за скобки в левой части второго уравнения:
$3(3x^2 + 2y^2) = 45x$

Шаг 2. Используем метод подстановки.
Из первого уравнения системы мы знаем, что выражение $3x^2 + 2y^2$ равно $45$ . Подставим это значение во второе уравнение вместо выражения в скобках:
$3 \cdot 45 = 45x$

Шаг 3. Находим значение $x$ .
Разделим обе части уравнения на $45$ :
$3 = x$ , то есть $x = 3$ .

Шаг 4. Находим значения $y$ .
Подставим найденное значение $x = 3$ в первое уравнение системы:
$3 \cdot 3^2 + 2y^2 = 45$
$3 \cdot 9 + 2y^2 = 45$
$27 + 2y^2 = 45$
Перенесем $27$ в правую часть с противоположным знаком:
$2y^2 = 45 - 27$
$2y^2 = 18$
Разделим на $2$ :
$y^2 = 9$
Отсюда получаем два возможных значения для $y$ :
$y_1 = 3$
$y_2 = -3$

Шаг 5. Записываем ответ.
Мы получили две пары решений: при $x = 3$ значение $y$ может быть равно $3$ или $-3$ . Запишем их в виде координат $(x; y)$ .

Ответ: (3; 3), (3; -3)

Источник: ФИПИ