Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $MBN$ и $ABC$. По условию прямая $MN$ параллельна стороне $AC$. При пересечении двух параллельных прямых $MN$ и $AC$ секущей $AB$ образуются равные соответственные углы: $\angle BMN = \angle BAC$. Аналогично, при секущей $BC$ равны соответственные углы $\angle BNM = \angle BCA$. Также угол $B$ является общим для обоих треугольников.

2. Так как два угла треугольника $MBN$ соответственно равны двум углам треугольника $ABC$, то эти треугольники подобны по первому признаку подобия ($\triangle MBN \sim \triangle ABC$).

3. Из подобия треугольников следует пропорциональность их сходственных сторон. Запишем отношение сторон, лежащих против равных углов:
$\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC}$.

4. Обозначим искомую длину отрезка $BN$ через $x$. Отрезок $BC$ состоит из суммы отрезков $BN$ и $NC$, то есть $BC = BN + NC = x + 10$.

5. Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{14}{21} = \frac{x}{x + 10}$.

6. Сократим дробь $\frac{14}{21}$ на $7$, получим $\frac{2}{3}$. Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{2}{3} = \frac{x}{x + 10}$.

7. Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$2 \cdot (x + 10) = 3 \cdot x$;
$2x + 20 = 3x$;
$3x - 2x = 20$;
$x = 20$.

Таким образом, длина отрезка $BN$ равна $20$.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ