Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По условию $AK$ — биссектриса угла $A$, следовательно, она делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAK = \angle KAD$.

2) Стороны $BC$ и $AD$ параллелограмма параллельны ($BC \parallel AD$). Отрезок $AK$ является секущей для этих параллельных прямых. При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны, значит, $\angle KAD = \angle BKA$.

3) Сравним полученные углы: так как $\angle BAK = \angle KAD$ и $\angle KAD = \angle BKA$, то $\angle BAK = \angle BKA$.

4) Рассмотрим треугольник $ABK$. Поскольку два его угла равны ($\angle BAK = \angle BKA$), этот треугольник является равнобедренным с основанием $AK$. Следовательно, его боковые стороны равны: $AB = BK$.

5) По условию $BK = 3$, значит, сторона $AB = 3$.

6) Найдем длину стороны $BC$. Точка $K$ лежит на этой стороне, поэтому $BC = BK + CK$. Подставим значения: $BC = 3 + 19 = 22$.

7) В параллелограмме противоположные стороны равны: $AB = CD = 3$ и $BC = AD = 22$.

8) Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле: $P = 2 \cdot (AB + BC)$.
Подставим найденные значения: $P = 2 \cdot (3 + 22) = 2 \cdot 25 = 50$.

Ответ: 50

Источник: ФИПИ