Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение является дробно-рациональным. Перед началом решения определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как переменная $x$ находится в знаменателе, она не может быть равна нулю: $x \neq 0$.

Для решения воспользуемся методом введения новой переменной. Заметим, что в уравнении присутствует дробь $\frac{1}{x}$ и её квадрат $\frac{1}{x^{2}}$.
Пусть $t = \frac{1}{x}$. Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:
$t^{2} - 3t - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант по формуле $D = b^{2} - 4ac$:
$D = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдём их по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$t_{1} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$;
$t_{2} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Теперь вернёмся к замене и найдём значения $x$:
1) Если $t = 4$, то $\frac{1}{x} = 4$. Отсюда $x = \frac{1}{4}$ или $x = 0,25$.
2) Если $t = -1$, то $\frac{1}{x} = -1$. Отсюда $x = \frac{1}{-1}$ или $x = -1$.

Оба найденных значения удовлетворяют условию $x \neq 0$.

Ответ: -1; 0,25

Источник: ФИПИ