Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ км/ч — скорость первого автомобиля. Тогда, так как скорость первого на $30$ км/ч больше скорости второго, скорость второго автомобиля будет равна $x - 30$ км/ч.

Оба автомобиля проехали расстояние, равное $900$ км. Вспомним формулу времени: $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — путь, а $v$ — скорость.

1) Время, затраченное первым автомобилем: $t_1 = \frac{900}{x}$ ч.
2) Время, затраченное вторым автомобилем: $t_2 = \frac{900}{x - 30}$ ч.

По условию задачи первый автомобиль прибыл к финишу на $5$ часов раньше второго. Это значит, что время второго автомобиля больше времени первого на $5$ часов. Составим уравнение:
$\frac{900}{x - 30} - \frac{900}{x} = 5$

Разделим обе части уравнения на $5$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{180}{x - 30} - \frac{180}{x} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x - 30)$:
$\frac{180x - 180(x - 30)}{x(x - 30)} = 1$
$\frac{180x - 180x + 5400}{x^2 - 30x} = 1$
$\frac{5400}{x^2 - 30x} = 1$

Перейдем к квадратному уравнению (учитывая, что $x > 30$):
$x^2 - 30x = 5400$
$x^2 - 30x - 5400 = 0$

Решим уравнение через дискриминант $D$:
$D = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5400) = 900 + 21600 = 22500$
$\sqrt{D} = \sqrt{22500} = 150$

Находим корни уравнения:
$x_1 = \frac{30 + 150}{2} = \frac{180}{2} = 90$
$x_2 = \frac{30 - 150}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость автомобиля не может быть отрицательной, корень $x_2 = -60$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость первого автомобиля равна $90$ км/ч.

Ответ: 90

Источник: ФИПИ