Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Проведём две высоты трапеции: $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$ и $CK$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Так как высоты трапеции параллельны и заключены между параллельными основаниями, $BH = CK$. Обозначим их длину как $h$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CKD$ (угол $K = 90^\circ$). Нам известен угол $BCD = 150^\circ$. Так как $BC \parallel AD$, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Значит, угол $CDK = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

3. В прямоугольном треугольнике $CKD$ катет $CK$, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы $CD$. Следовательно:
$CK = \frac{1}{2} \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 26 = 13$.
Значит, высота трапеции $h = 13$.

4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $H = 90^\circ$). Нам дан угол $ABC = 45^\circ$. Однако для решения треугольника $ABH$ нам удобнее найти угол $BAH$. Так как сумма углов $ABC$ и $BAH$ равна $180^\circ$ (односторонние углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$), получаем:
$\angle BAH = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
Это тупой угол, значит, высота $BH$ падает на продолжение основания $AD$, либо трапеция имеет иную конфигурацию.

5. Пересмотрим положение высоты: в прямоугольном треугольнике $ABH$ синус угла $A$ (или угла, смежного с ним, если трапеция тупоугольная) связывает противолежащий катет (высоту) и гипотенузу $AB$.
Воспользуемся соотношением: $\sin(\angle ABH_{острый}) = \frac{BH}{AB}$.
Угол между боковой стороной $AB$ и прямой, содержащей основание, равен $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ (внешний) или $45^\circ$ (внутренний относительно высоты). В любом случае, $\sin(45^\circ) = \frac{BH}{AB}$.

6. Выразим $AB$:
$AB = \frac{BH}{\sin 45^\circ} = \frac{13}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{13 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{26}{\sqrt{2}}$.

7. Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$AB = \frac{26 \cdot \sqrt{2}}{2} = 13\sqrt{2}$.

Ответ: $13\sqrt{2}$

Источник: ФИПИ