Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде (собственная скорость). По условию задачи скорость течения реки равна $4$ км/ч. Тогда скорость теплохода по течению реки составляет $x + 4$ км/ч, а скорость против течения — $x - 4$ км/ч. По смыслу задачи $x > 4$.

1. Найдём общее время, которое теплоход находился в движении. Известно, что он вернулся через $27$ часов после отплытия, при этом $9$ часов он стоял. Значит, время в пути составило:
$27 - 9 = 18$ (часов).

2. Составим уравнение, основываясь на формуле времени $t = \frac{S}{v}$.
Расстояние в одну сторону равно $210$ км.
Время движения по течению: $\frac{210}{x + 4}$ ч.
Время движения против течения: $\frac{210}{x - 4}$ ч.
Суммарное время движения равно $18$ часам:
$\frac{210}{x + 4} + \frac{210}{x - 4} = 18$

3. Решим полученное уравнение. Разделим обе части уравнения на $6$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{35}{x + 4} + \frac{35}{x - 4} = 3$

Приведём дроби к общему знаменателю $(x + 4)(x - 4) = x^2 - 16$:
$\frac{35(x - 4) + 35(x + 4)}{x^2 - 16} = 3$
$\frac{35x - 140 + 35x + 140}{x^2 - 16} = 3$
$\frac{70x}{x^2 - 16} = 3$

Перейдём к линейному виду (учитывая, что $x \neq 4$):
$3(x^2 - 16) = 70x$
$3x^2 - 48 = 70x$
$3x^2 - 70x - 48 = 0$

4. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-70)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-48) = 4900 + 576 = 5476$
$\sqrt{D} = \sqrt{5476} = 74$

Найдём корни:
$x_1 = \frac{70 + 74}{2 \cdot 3} = \frac{144}{6} = 24$
$x_2 = \frac{70 - 74}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

5. Так как скорость теплохода должна быть положительным числом, корень $x_2 = -\frac{2}{3}$ не подходит по условию задачи. Следовательно, собственная скорость теплохода равна $24$ км/ч.

Ответ: 24

Источник: ФИПИ