Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

В треугольнике $A B C$ с тупым углом $A B C$ проведены высоты $A A_{1}$ и $C C_{1}$ . Докажите, что треугольники $A_{1} B C_{1}$ и $A B C$ подобны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Рассмотрим прямоугольные треугольники $AA_1B$ и $CC_1B$ . Поскольку угол $ABC$ тупой, основания высот $A_1$ и $C_1$ лежат на продолжениях сторон $BC$ и $AB$ соответственно. В этих треугольниках углы при вершине $B$ являются вертикальными: $\angle A_1BA = \angle C_1BC$ . Следовательно, треугольники $AA_1B$ и $CC_1B$ подобны по двум углам (прямому и вертикальному).

2) Из подобия треугольников $AA_1B$ и $CC_1B$ следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{BA_1}{BC_1} = \frac{BA}{BC}$ .
Переставим члены пропорции для удобства:
$\frac{BA_1}{BA} = \frac{BC_1}{BC}$ .

3) Теперь рассмотрим треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ . У них:
— угол $B$ общий (вертикальные углы $\angle A_1BC_1$ и $\angle ABC$ равны);
— стороны, образующие этот угол, пропорциональны согласно полученному ранее отношению: $\frac{BA_1}{BA} = \frac{BC_1}{BC}$ .

4) Таким образом, треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ