Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

В треугольнике $A B C$ с тупым углом $A B C$ проведены высоты $A A_{1}$ и $C C_{1}$ . Докажите, что треугольники $A_{1} B C_{1}$ и $A B C$ подобны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Рассмотрим прямоугольные треугольники $AA_1B$ и $CC_1B$ . Поскольку угол $ABC$ тупой, основания высот $A_1$ и $C_1$ лежат на продолжениях сторон $BC$ и $AB$ соответственно. В этих треугольниках углы при вершине $B$ являются вертикальными: $\angle A_1BA = \angle C_1BC$ . Следовательно, треугольники $AA_1B$ и $CC_1B$ подобны по двум углам (прямому и вертикальному).

2) Из подобия треугольников $AA_1B$ и $CC_1B$ следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{BA_1}{BC_1} = \frac{BA}{BC}$ .
Переставим члены пропорции для удобства:
$\frac{BA_1}{BA} = \frac{BC_1}{BC}$ .

3) Теперь рассмотрим треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ . У них:
— угол $B$ общий (вертикальные углы $\angle A_1BC_1$ и $\angle ABC$ равны);
— стороны, образующие этот угол, пропорциональны согласно полученному ранее отношению: $\frac{BA_1}{BA} = \frac{BC_1}{BC}$ .

4) Таким образом, треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ