Задание №24 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим прямоугольные треугольники $AA_1B$ и $CC_1B$. Поскольку угол $ABC$ тупой, основания высот $A_1$ и $C_1$ лежат на продолжениях сторон $BC$ и $AB$ соответственно. В этих треугольниках углы при вершине $B$ являются вертикальными: $\angle A_1BA = \angle C_1BC$. Следовательно, треугольники $AA_1B$ и $CC_1B$ подобны по двум углам (прямому и вертикальному).

2) Из подобия треугольников $AA_1B$ и $CC_1B$ следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{BA_1}{BC_1} = \frac{BA}{BC}$.
Переставим члены пропорции для удобства:
$\frac{BA_1}{BA} = \frac{BC_1}{BC}$.

3) Теперь рассмотрим треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$. У них:
— угол $B$ общий (вертикальные углы $\angle A_1BC_1$ и $\angle ABC$ равны);
— стороны, образующие этот угол, пропорциональны согласно полученному ранее отношению: $\frac{BA_1}{BA} = \frac{BC_1}{BC}$.

4) Таким образом, треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ