Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

В треугольнике $A B C$ с тупым углом $B A C$ проведены высоты $B B_{1}$ и $C C_{1}$ . Докажите, что треугольники $A B_{1} C_{1}$ и $A B C$ подобны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Рассмотрим прямоугольные треугольники $A B B_{1}$ и $A C C_{1}$ . В этих треугольниках угол $A$ является общим (вертикальным для углов внутри треугольника $ABC$ , так как высоты проведены из вершин к продолжениям сторон из-за тупого угла $BAC$ ).

2) Из прямоугольного треугольника $A B B_{1}$ (где $\angle A B_{1} B = 90^{\circ}$ ) выразим косинус угла $A$ : $\cos \angle A = \frac{A B_{1}}{A B}$ . Отсюда следует, что $A B_{1} = A B \cdot \cos \angle A$ .

3) Из прямоугольного треугольника $A C C_{1}$ (где $\angle A C_{1} C = 90^{\circ}$ ) выразим косинус того же угла $A$ : $\cos \angle A = \frac{A C_{1}}{A C}$ . Отсюда следует, что $A C_{1} = A C \cdot \cos \angle A$ .

4) Рассмотрим треугольники $A B_{1} C_{1}$ и $A B C$ . У них:
— Угол $A$ — общий;
— Стороны, образующие этот угол, пропорциональны. Действительно, из предыдущих пунктов имеем: $\frac{A B_{1}}{A B} = \cos \angle A$ и $\frac{A C_{1}}{A C} = \cos \angle A$ . Следовательно, $\frac{A B_{1}}{A B} = \frac{A C_{1}}{A C}$ .

5) Так как две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники $A B_{1} C_{1}$ и $A B C$ подобны по второму признаку подобия треугольников. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ