Задание №24 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим прямоугольные треугольники $A B B_{1}$ и $A C C_{1}$. В этих треугольниках угол $A$ является общим (вертикальным для углов внутри треугольника $ABC$, так как высоты проведены из вершин к продолжениям сторон из-за тупого угла $BAC$).

2) Из прямоугольного треугольника $A B B_{1}$ (где $\angle A B_{1} B = 90^{\circ}$) выразим косинус угла $A$: $\cos \angle A = \frac{A B_{1}}{A B}$. Отсюда следует, что $A B_{1} = A B \cdot \cos \angle A$.

3) Из прямоугольного треугольника $A C C_{1}$ (где $\angle A C_{1} C = 90^{\circ}$) выразим косинус того же угла $A$: $\cos \angle A = \frac{A C_{1}}{A C}$. Отсюда следует, что $A C_{1} = A C \cdot \cos \angle A$.

4) Рассмотрим треугольники $A B_{1} C_{1}$ и $A B C$. У них:
— Угол $A$ — общий;
— Стороны, образующие этот угол, пропорциональны. Действительно, из предыдущих пунктов имеем: $\frac{A B_{1}}{A B} = \cos \angle A$ и $\frac{A C_{1}}{A C} = \cos \angle A$. Следовательно, $\frac{A B_{1}}{A B} = \frac{A C_{1}}{A C}$.

5) Так как две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники $A B_{1} C_{1}$ и $A B C$ подобны по второму признаку подобия треугольников. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ