Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

В треугольнике $A B C$ с тупым углом $B A C$ проведены высоты $B B_{1}$ и $C C_{1}$ . Докажите, что треугольники $A B_{1} C_{1}$ и $A B C$ подобны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Рассмотрим прямоугольные треугольники $A B B_{1}$ и $A C C_{1}$ . В этих треугольниках угол $A$ является общим (вертикальным для углов внутри треугольника $ABC$ , так как высоты проведены из вершин к продолжениям сторон из-за тупого угла $BAC$ ).

2) Из прямоугольного треугольника $A B B_{1}$ (где $\angle A B_{1} B = 90^{\circ}$ ) выразим косинус угла $A$ : $\cos \angle A = \frac{A B_{1}}{A B}$ . Отсюда следует, что $A B_{1} = A B \cdot \cos \angle A$ .

3) Из прямоугольного треугольника $A C C_{1}$ (где $\angle A C_{1} C = 90^{\circ}$ ) выразим косинус того же угла $A$ : $\cos \angle A = \frac{A C_{1}}{A C}$ . Отсюда следует, что $A C_{1} = A C \cdot \cos \angle A$ .

4) Рассмотрим треугольники $A B_{1} C_{1}$ и $A B C$ . У них:
— Угол $A$ — общий;
— Стороны, образующие этот угол, пропорциональны. Действительно, из предыдущих пунктов имеем: $\frac{A B_{1}}{A B} = \cos \angle A$ и $\frac{A C_{1}}{A C} = \cos \angle A$ . Следовательно, $\frac{A B_{1}}{A B} = \frac{A C_{1}}{A C}$ .

5) Так как две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники $A B_{1} C_{1}$ и $A B C$ подобны по второму признаку подобия треугольников. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ