Задание 21

Текстовая задача · 190 заданий

Задание №21
№21Лёгкое
Моторная лодка прошла против течения реки 297 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течен…
Текстовые задачи
Задание №21
№21Среднее
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 341 кг свежих фруктов?
Текстовые задачи
Задание №21
№21Лёгкое
Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21Лёгкое
Два велосипедиста одновременно отправляются в 224-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21Среднее
Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выпо…
Текстовые задачи
Задание №21
№21Лёгкое
Свежие фрукты содержат 79 % воды, а высушенные — 16 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
Текстовые задачи
Задание №21
№21Лёгкое
Два велосипедиста одновременно отправляются в 180-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 5 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21Лёгкое
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 3 к…
Текстовые задачи
Задание №21
№21Сложное
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А,…
Текстовые задачи
Задание №21
№21Среднее
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорост…
Текстовые задачи
Задание №21
№21Лёгкое
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 57 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду,…
Текстовые задачи
Задание №21
№21Среднее
Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объё…
Текстовые задачи

Задание №21 — Уравнения и неравенства

Баржа прошла по течению реки 84 км и, повернув обратно, прошла ещё 66 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи. По условию задачи скорость течения реки равна $5$ км/ч. Тогда:

1) Скорость баржи по течению реки равна $(x + 5)$ км/ч.
2) Скорость баржи против течения реки равна $(x - 5)$ км/ч.

По условию задачи баржа прошла по течению $84$ км. Время, затраченное на этот путь, равно $\frac{84}{x + 5}$ ч.
Затем баржа прошла против течения $66$ км. Время на этот путь составило $\frac{66}{x - 5}$ ч.

Известно, что на весь путь было затрачено $10$ часов. Составим уравнение:
$\frac{84}{x + 5} + \frac{66}{x - 5} = 10$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x + 5)(x - 5)$ . Заметим, что по смыслу задачи $x > 5$ , так как скорость баржи должна быть больше скорости течения, чтобы она могла плыть против него.
$\frac{84(x - 5) + 66(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = 10$
$84x - 420 + 66x + 330 = 10(x^2 - 25)$
$150x - 90 = 10x^2 - 250$

Разделим обе части уравнения на $10$ для упрощения вычислений:
$15x - 9 = x^2 - 25$
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 15x - 16 = 0$

Решим полученное уравнение через дискриминант или по теореме Виета:
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289$
$\sqrt{D} = 17$
$x_1 = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16$
$x_2 = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x = -1$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, собственная скорость баржи равна $16$ км/ч.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ