Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи. По условию задачи скорость течения реки равна $5$ км/ч. Тогда:

1) Скорость баржи по течению реки равна $(x + 5)$ км/ч.
2) Скорость баржи против течения реки равна $(x - 5)$ км/ч.

По условию задачи баржа прошла по течению $84$ км. Время, затраченное на этот путь, равно $\frac{84}{x + 5}$ ч.
Затем баржа прошла против течения $66$ км. Время на этот путь составило $\frac{66}{x - 5}$ ч.

Известно, что на весь путь было затрачено $10$ часов. Составим уравнение:
$\frac{84}{x + 5} + \frac{66}{x - 5} = 10$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x + 5)(x - 5)$. Заметим, что по смыслу задачи $x > 5$, так как скорость баржи должна быть больше скорости течения, чтобы она могла плыть против него.
$\frac{84(x - 5) + 66(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = 10$
$84x - 420 + 66x + 330 = 10(x^2 - 25)$
$150x - 90 = 10x^2 - 250$

Разделим обе части уравнения на $10$ для упрощения вычислений:
$15x - 9 = x^2 - 25$
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 15x - 16 = 0$

Решим полученное уравнение через дискриминант или по теореме Виета:
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289$
$\sqrt{D} = 17$
$x_1 = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16$
$x_2 = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x = -1$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, собственная скорость баржи равна $16$ км/ч.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ