Задание №24 — Геометрия

#48034Задание №24ФИПИ

Многоугольники

В трапеции $A B C D$ с основаниями $A D$ и $B C$ диагонали пересекаются
в точке $O$ . Докажите, что площади треугольников $A O B$ и $C O D$ равны.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DBC$ . У этих треугольников общее основание — сторона $BC$ .

2. Высоты этих треугольников, опущенные из вершин $A$ и $D$ на прямую $BC$ , равны между собой, так как они представляют собой расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC$ (основания трапеции параллельны по определению).

3. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ , где $a$ — основание, а $h$ — высота. Так как у треугольников $ABC$ и $DBC$ общее основание и равные высоты, их площади равны: $S_{ABC} = S_{DBC}$ .

4. Заметим, что треугольник $ABC$ состоит из двух частей: треугольника $AOB$ и треугольника $BOC$ . То есть: $S_{ABC} = S_{AOB} + S_{BOC}$ .

5. Аналогично, треугольник $DBC$ состоит из треугольника $COD$ и того же самого треугольника $BOC$ : $S_{DBC} = S_{COD} + S_{BOC}$ .

6. Так как $S_{ABC} = S_{DBC}$ , мы можем приравнять правые части выражений: $S_{AOB} + S_{BOC} = S_{COD} + S_{BOC}$ .

7. Вычтем из обеих частей равенства площадь общего треугольника $BOC$ : $S_{AOB} = S_{COD}$ .

Таким образом, площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ