Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий
- Задание №24№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
- Задание №24№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
- Задание №24№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
- Задание №24№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
- Задание №24№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
- Задание №24№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются
в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.
Решение
Решение.
1. Рассмотрим треугольники ABC и DBC. У этих треугольников общее основание — сторона BC.
2. Высоты этих треугольников, опущенные из вершин A и D на прямую BC, равны между собой, так как они представляют собой расстояние между параллельными прямыми AD и BC (основания трапеции параллельны по определению).
3. Площадь треугольника вычисляется по формуле S=21⋅a⋅h, где a — основание, а h — высота. Так как у треугольников ABC и DBC общее основание и равные высоты, их площади равны: SABC=SDBC.
4. Заметим, что треугольник ABC состоит из двух частей: треугольника AOB и треугольника BOC. То есть: SABC=SAOB+SBOC.
5. Аналогично, треугольник DBC состоит из треугольника COD и того же самого треугольника BOC: SDBC=SCOD+SBOC.
6. Так как SABC=SDBC, мы можем приравнять правые части выражений: SAOB+SBOC=SCOD+SBOC.
7. Вычтем из обеих частей равенства площадь общего треугольника BOC: SAOB=SCOD.
Таким образом, площади треугольников AOB и COD равны, что и требовалось доказать.
Ответ: доказано.
Источник: ФИПИ