Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность с центром на стороне A C треугольника A B C проходит через вершину C и касается прямой A B в точке B . Найдите A C , если диаметр окружност…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
На стороне B C остроугольного треугольника A B C как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту A D в точке M , A D = 9 , M D = 6 , H —…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В трапеции A B C D боковая сторона A B перпендикулярна основанию B C . Окружность проходит через точки C и D и касается прямой A B в точке E . Найдите…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

Окружность пересекает стороны $A B$ и $A C$ треугольника $A B C$ в точках $K$
и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$ . Найдите длину отрезка $K P$ , если $A P = 30$ , а сторона $B C$ в 1,2 раза меньше стороны $A B$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $KBCP$ . По условию задачи его вершины лежат на одной окружности. Это означает, что четырёхугольник $KBCP$ является вписанным.

2. Воспользуемся свойством вписанного четырёхугольника: сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$ . Следовательно, $\angle KBC + \angle KPC = 180^{\circ}$ .

3. Заметим, что углы $\angle APC$ и $\angle KPC$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^{\circ}$ . Отсюда следует, что $\angle APK = 180^{\circ} - \angle KPC$ . Сравнивая это с предыдущим равенством, получаем: $\angle APK = \angle KBC$ (или $\angle ABC$ ).

4. Теперь рассмотрим треугольники $AKP$ и $ACB$ :
— Угол $\angle A$ у них общий;
— $\angle APK = \angle ABC$ (как мы доказали выше).
Следовательно, треугольники $AKP$ и $ACB$ подобны по двум углам ( $\triangle AKP \sim \triangle ACB$ ).

5. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон. Запишем отношение сторон, лежащих против равных углов:
$\frac{KP}{BC} = \frac{AP}{AB}$ .

6. Из условия задачи известно, что сторона $BC$ в $1,2$ раза меньше стороны $AB$ . Это можно записать в виде уравнения: $AB = 1,2 \cdot BC$ , или $\frac{BC}{AB} = \frac{1}{1,2}$ .

7. Выразим искомую сторону $KP$ из пропорции:
$KP = \frac{AP \cdot BC}{AB} = AP \cdot \frac{BC}{AB}$ .

8. Подставим известные значения ( $AP = 30$ и отношение сторон):
$KP = 30 \cdot \frac{1}{1,2} = \frac{30}{1,2} = \frac{300}{12} = 25$ .

Ответ: 25

Источник: ФИПИ