Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $KBCP$. По условию задачи его вершины лежат на одной окружности. Это означает, что четырёхугольник $KBCP$ является вписанным.

2. Воспользуемся свойством вписанного четырёхугольника: сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$. Следовательно, $\angle KBC + \angle KPC = 180^{\circ}$.

3. Заметим, что углы $\angle APC$ и $\angle KPC$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^{\circ}$. Отсюда следует, что $\angle APK = 180^{\circ} - \angle KPC$. Сравнивая это с предыдущим равенством, получаем: $\angle APK = \angle KBC$ (или $\angle ABC$).

4. Теперь рассмотрим треугольники $AKP$ и $ACB$:
— Угол $\angle A$ у них общий;
— $\angle APK = \angle ABC$ (как мы доказали выше).
Следовательно, треугольники $AKP$ и $ACB$ подобны по двум углам ($\triangle AKP \sim \triangle ACB$).

5. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон. Запишем отношение сторон, лежащих против равных углов:
$\frac{KP}{BC} = \frac{AP}{AB}$.

6. Из условия задачи известно, что сторона $BC$ в $1,2$ раза меньше стороны $AB$. Это можно записать в виде уравнения: $AB = 1,2 \cdot BC$, или $\frac{BC}{AB} = \frac{1}{1,2}$.

7. Выразим искомую сторону $KP$ из пропорции:
$KP = \frac{AP \cdot BC}{AB} = AP \cdot \frac{BC}{AB}$.

8. Подставим известные значения ($AP = 30$ и отношение сторон):
$KP = 30 \cdot \frac{1}{1,2} = \frac{30}{1,2} = \frac{300}{12} = 25$.

Ответ: 25

Источник: ФИПИ