Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Сначала найдём величину третьего угла треугольника $ABC$. Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Следовательно, угол $A$ можно вычислить по формуле:
$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C)$.
Подставим известные значения:
$\angle A = 180^\circ - (67^\circ + 83^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

2) Для нахождения стороны треугольника воспользуемся теоремой синусов. Согласно этой теореме, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно двум радиусам описанной окружности:
$\frac{BC}{\sin A} = 2R$,
где $R$ — радиус описанной окружности.

3) Из этой формулы выразим искомую сторону $BC$:
$BC = 2R \cdot \sin A$.

4) Подставим в полученное выражение известные данные: $R = 16$ и $\angle A = 30^\circ$. Вспомним, что значение синуса $30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$ (или $0,5$):
$BC = 2 \cdot 16 \cdot \sin 30^\circ = 2 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2}$.

5) Произведём вычисления:
$BC = 32 \cdot \frac{1}{2} = 16$.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ