Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23Среднее
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Среднее
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD…
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Отрезки $A B$ и $C D$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $C D$ , если $A B = 10$ , а расстояния от центра окружности до хорд $A B$ и $C D$ равны соответственно 12 и 5.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Пусть $O$ — центр данной окружности. Проведём перпендикуляры из центра $O$ к хордам $AB$ и $CD$ . Обозначим их $OH$ и $OK$ соответственно. По условию задачи $OH = 12$ (расстояние до $AB$ ) и $OK = 5$ (расстояние до $CD$ ).

2. Вспомним важное свойство: перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам. Значит, точка $H$ является серединой $AB$ , а точка $K$ — серединой $CD$ .
Вычислим длину отрезка $AH$ :
$AH = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$ .

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $H = 90^\circ$ ). В нём $AH = 5$ и $OH = 12$ . По теореме Пифагора найдём радиус окружности $R = OA$ :
$OA^2 = AH^2 + OH^2$
$OA^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
$OA = \sqrt{169} = 13$ .
Таким образом, радиус окружности равен 13.

4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $COK$ (угол $K = 90^\circ$ ), где $OC$ — это также радиус окружности, то есть $OC = 13$ , а $OK = 5$ по условию. Найдём отрезок $CK$ по теореме Пифагора:
$CK^2 = OC^2 - OK^2$
$CK^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$CK = \sqrt{144} = 12$ .

5. Так как точка $K$ — середина хорды $CD$ , то вся длина хорды в два раза больше отрезка $CK$ :
$CD = 2 \cdot CK = 2 \cdot 12 = 24$ .

Ответ: 24

Источник: ФИПИ