Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $O$ — центр данной окружности. Проведём перпендикуляры из центра $O$ к хордам $AB$ и $CD$. Обозначим их $OH$ и $OK$ соответственно. По условию задачи $OH = 12$ (расстояние до $AB$) и $OK = 5$ (расстояние до $CD$).

2. Вспомним важное свойство: перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам. Значит, точка $H$ является серединой $AB$, а точка $K$ — серединой $CD$.
Вычислим длину отрезка $AH$:
$AH = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $H = 90^\circ$). В нём $AH = 5$ и $OH = 12$. По теореме Пифагора найдём радиус окружности $R = OA$:
$OA^2 = AH^2 + OH^2$
$OA^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
$OA = \sqrt{169} = 13$.
Таким образом, радиус окружности равен 13.

4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $COK$ (угол $K = 90^\circ$), где $OC$ — это также радиус окружности, то есть $OC = 13$, а $OK = 5$ по условию. Найдём отрезок $CK$ по теореме Пифагора:
$CK^2 = OC^2 - OK^2$
$CK^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$CK = \sqrt{144} = 12$.

5. Так как точка $K$ — середина хорды $CD$, то вся длина хорды в два раза больше отрезка $CK$:
$CD = 2 \cdot CK = 2 \cdot 12 = 24$.

Ответ: 24

Источник: ФИПИ