Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Данное уравнение содержит квадратный корень. Прежде чем приступать к преобразованиям, необходимо определить область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$2 - x \geq 0$
$-x \geq -2$
$x \leq 2$

Теперь перейдём к решению самого уравнения. Заметим, что в обеих частях уравнения присутствует слагаемое $\sqrt{2 - x}$. Мы можем вычесть его из обеих частей уравнения:

$x^{2} - 2x + \sqrt{2 - x} - \sqrt{2 - x} = 3$
$x^{2} - 2x = 3$

Перенесём число $3$ в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^{2} - 2x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D$:

$D = b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$
$\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$

Найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_{2} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию ОДЗ ($x \leq 2$):

1) Для $x_{1} = 3$: условие $3 \leq 2$ не выполняется. Значит, число $3$ является посторонним корнем.
2) Для $x_{2} = -1$: условие $-1 \leq 2$ выполняется. Значит, число $-1$ является корнем уравнения.

Ответ: -1

Источник: ФИПИ