Задание №24 — Геометрия

#48042Задание №24ФИПИ

Окружность и круг

Окружности с центрами в точках $M$ и $N$ пересекаются в точках $S$ и $T$ , причём точки $M$ и $N$ лежат по одну сторону от прямой $S T$ . Докажите,
что прямые $M N$ и $S T$ перпендикулярны.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $MST$ . В этом треугольнике стороны $MS$ и $MT$ являются радиусами одной и той же окружности с центром в точке $M$ . Следовательно, $MS = MT$ , а значит, треугольник $MST$ — равнобедренный с основанием $ST$ .

2. Аналогично рассмотрим треугольник $NST$ . Стороны $NS$ и $NT$ являются радиусами окружности с центром в точке $N$ . Следовательно, $NS = NT$ , и треугольник $NST$ также является равнобедренным с основанием $ST$ .

3. Вспомним свойство серединного перпендикуляра: любая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

4. Так как $MS = MT$ , точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $ST$ .
Так как $NS = NT$ , точка $N$ также лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $ST$ .

5. Через две различные точки можно провести одну и только одну прямую. Поскольку обе точки $M$ и $N$ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $ST$ , то прямая $MN$ и есть этот серединный перпендикуляр.

6. По определению серединного перпендикуляра, прямая $MN$ перпендикулярна отрезку (и прямой) $ST$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ