Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий
- Задание №24№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
- Задание №24№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
- Задание №24№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
- Задание №24№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
- Задание №24№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
- Задание №24№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
- Задание №24№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
- Задание №24№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
- Задание №24№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
- Задание №24№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
- Задание №24№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
- Задание №24№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите,
что прямые MN и ST перпендикулярны.
Решение
Решение.
1. Рассмотрим треугольник MST. В этом треугольнике стороны MS и MT являются радиусами одной и той же окружности с центром в точке M. Следовательно, MS=MT, а значит, треугольник MST — равнобедренный с основанием ST.
2. Аналогично рассмотрим треугольник NST. Стороны NS и NT являются радиусами окружности с центром в точке N. Следовательно, NS=NT, и треугольник NST также является равнобедренным с основанием ST.
3. Вспомним свойство серединного перпендикуляра: любая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
4. Так как MS=MT, точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ST.
Так как NS=NT, точка N также лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ST.
5. Через две различные точки можно провести одну и только одну прямую. Поскольку обе точки M и N лежат на серединном перпендикуляре к отрезку ST, то прямая MN и есть этот серединный перпендикуляр.
6. По определению серединного перпендикуляра, прямая MN перпендикулярна отрезку (и прямой) ST. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.
Источник: ФИПИ