Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Окружности с центрами в точках $M$ и $N$ пересекаются в точках $S$ и $T$ , причём точки $M$ и $N$ лежат по одну сторону от прямой $S T$ . Докажите,
что прямые $M N$ и $S T$ перпендикулярны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $MST$ . В этом треугольнике стороны $MS$ и $MT$ являются радиусами одной и той же окружности с центром в точке $M$ . Следовательно, $MS = MT$ , а значит, треугольник $MST$ — равнобедренный с основанием $ST$ .

2. Аналогично рассмотрим треугольник $NST$ . Стороны $NS$ и $NT$ являются радиусами окружности с центром в точке $N$ . Следовательно, $NS = NT$ , и треугольник $NST$ также является равнобедренным с основанием $ST$ .

3. Вспомним свойство серединного перпендикуляра: любая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

4. Так как $MS = MT$ , точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $ST$ .
Так как $NS = NT$ , точка $N$ также лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $ST$ .

5. Через две различные точки можно провести одну и только одну прямую. Поскольку обе точки $M$ и $N$ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $ST$ , то прямая $MN$ и есть этот серединный перпендикуляр.

6. По определению серединного перпендикуляра, прямая $MN$ перпендикулярна отрезку (и прямой) $ST$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ