Задание №24 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $AD = a$ и $BC = b$ — основания трапеции $ABCD$. Обозначим высоту трапеции через $h$. Проведём через точку $K$, лежащую на средней линии, прямую, перпендикулярную основаниям. Пусть эта прямая пересекает основание $BC$ в точке $M$, а основание $AD$ в точке $N$. Тогда отрезок $MN$ является высотой трапеции, то есть $MN = h$.

2) Средняя линия трапеции параллельна основаниям и делит любую высоту трапеции пополам. Так как точка $K$ лежит на средней линии, то расстояния от точки $K$ до оснований $BC$ и $AD$ равны между собой и составляют половину высоты трапеции. Обозначим высоту треугольника $BKC$, опущенную из вершины $K$ на сторону $BC$, как $h_1$, а высоту треугольника $AKD$, опущенную из вершины $K$ на сторону $AD$, как $h_2$. Тогда $h_1 = h_2 = \frac{h}{2}$.

3) Вычислим площадь треугольника $BKC$: $S_{BKC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{h}{2} = \frac{bh}{4}$.

4) Вычислим площадь треугольника $AKD$: $S_{AKD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{h}{2} = \frac{ah}{4}$.

5) Найдем сумму площадей этих треугольников: $S_{BKC} + S_{AKD} = \frac{bh}{4} + \frac{ah}{4} = \frac{(a + b)h}{4}$.

6) Вспомним формулу площади трапеции: $S_{ABCD} = \frac{a + b}{2} \cdot h$.

7) Сравним полученную сумму площадей с площадью трапеции: $\frac{S_{ABCD}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(a + b)h}{2} = \frac{(a + b)h}{4}$.

Таким образом, $S_{BKC} + S_{AKD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ