Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

На средней линии трапеции $A B C D$ с основаниями $A D$ и $B C$ выбрали произвольную точку $K$ . Докажите, что сумма площадей треугольников $B K C$ и $A K D$ равна половине площади трапеции.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $AD = a$ и $BC = b$ — основания трапеции $ABCD$ . Обозначим высоту трапеции через $h$ . Проведём через точку $K$ , лежащую на средней линии, прямую, перпендикулярную основаниям. Пусть эта прямая пересекает основание $BC$ в точке $M$ , а основание $AD$ в точке $N$ . Тогда отрезок $MN$ является высотой трапеции, то есть $MN = h$ .

2) Средняя линия трапеции параллельна основаниям и делит любую высоту трапеции пополам. Так как точка $K$ лежит на средней линии, то расстояния от точки $K$ до оснований $BC$ и $AD$ равны между собой и составляют половину высоты трапеции. Обозначим высоту треугольника $BKC$ , опущенную из вершины $K$ на сторону $BC$ , как $h_1$ , а высоту треугольника $AKD$ , опущенную из вершины $K$ на сторону $AD$ , как $h_2$ . Тогда $h_1 = h_2 = \frac{h}{2}$ .

3) Вычислим площадь треугольника $BKC$ : $S_{BKC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{h}{2} = \frac{bh}{4}$ .

4) Вычислим площадь треугольника $AKD$ : $S_{AKD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{h}{2} = \frac{ah}{4}$ .

5) Найдем сумму площадей этих треугольников: $S_{BKC} + S_{AKD} = \frac{bh}{4} + \frac{ah}{4} = \frac{(a + b)h}{4}$ .

6) Вспомним формулу площади трапеции: $S_{ABCD} = \frac{a + b}{2} \cdot h$ .

7) Сравним полученную сумму площадей с площадью трапеции: $\frac{S_{ABCD}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(a + b)h}{2} = \frac{(a + b)h}{4}$ .

Таким образом, $S_{BKC} + S_{AKD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$ , что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ