Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2x^2 + 3y^2 = 11 \\ 4x^2 + 6y^2 = 11x \end{cases}$

Шаг 1. Преобразование системы.
Заметим, что левая часть второго уравнения очень похожа на левую часть первого уравнения. Если мы умножим обе части первого уравнения на $2$, то получим выражение, идентичное левой части второго уравнения:
$2 \cdot (2x^2 + 3y^2) = 2 \cdot 11$
$4x^2 + 6y^2 = 22$

Шаг 2. Нахождение переменной $x$.
Теперь мы видим, что в системе оба уравнения имеют одинаковую левую часть $4x^2 + 6y^2$:
$\begin{cases} 4x^2 + 6y^2 = 22 \\ 4x^2 + 6y^2 = 11x \end{cases}$
Так как левые части равны, мы можем приравнять их правые части:
$11x = 22$
Отсюда находим $x$:
$x = 22 : 11$
$x = 2$

Шаг 3. Нахождение переменной $y$.
Подставим найденное значение $x = 2$ в первое уравнение исходной системы:
$2 \cdot 2^2 + 3y^2 = 11$
$2 \cdot 4 + 3y^2 = 11$
$8 + 3y^2 = 11$
$3y^2 = 11 - 8$
$3y^2 = 3$
$y^2 = 1$
Уравнение $y^2 = 1$ имеет два корня:
$y_1 = 1$
$y_2 = -1$

Шаг 4. Запись ответа.
Мы получили две пары решений: при $x = 2$ значение $y$ может быть равно $1$ или $-1$.
Пары записываются в виде $(x; y)$: $(2; 1)$ и $(2; -1)$.

Ответ: (2; 1), (2; -1)

Источник: ФИПИ