Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $v$ км/ч — скорость первого бегуна. Тогда, согласно условию задачи, скорость второго бегуна равна $v + 8$ км/ч.

1. Рассмотрим движение первого бегуна. Известно, что через 1 час ($t_1 = 1$ ч) ему оставался 1 км до конца круга. Значит, длина всей круговой трассы $S$ складывается из расстояния, которое он пробежал за час, и оставшегося километра:
$S = v \cdot 1 + 1 = v + 1$ (км).

2. Теперь рассмотрим движение второго бегуна. Он пробежал этот же круг ($S$) на 20 минут раньше, чем прошел час с момента старта. Переведем 20 минут в часы:
$20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.
Следовательно, второй бегун преодолел круг за время:
$t_2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ (ч).

3. Используя формулу пути $S = v \cdot t$, запишем длину круга через скорость и время второго бегуна:
$S = (v + 8) \cdot \frac{2}{3}$.

4. Так как длина круга $S$ в обоих случаях одинакова, приравняем полученные выражения:
$v + 1 = \frac{2}{3}(v + 8)$.

5. Решим полученное уравнение. Для удобства умножим обе части на 3:
$3(v + 1) = 2(v + 8)$
$3v + 3 = 2v + 16$
Перенесем слагаемые с $v$ в левую часть, а числа — в правую:
$3v - 2v = 16 - 3$
$v = 13$.

Таким образом, скорость первого бегуна составляет 13 км/ч.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ