Задание №24 — Геометрия

#48049Задание №24ФИПИ

Многоугольники

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $A B C D$ проведена прямая, пересекающая стороны $A B$ и $C D$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что отрезки $B P$ и $D Q$ равны.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

Для доказательства равенства отрезков $BP$ и $DQ$ рассмотрим треугольники, в которые они входят, и докажем их равенство.

1) Рассмотрим треугольники $BOP$ и $DOQ$ .
Вспомним свойства параллелограмма: диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $BD$ , то есть $BO = OD$ .

2) Рассмотрим углы при точке $O$ :
Углы $\angle BOP$ и $\angle DOQ$ являются вертикальными. По свойству вертикальных углов они равны: $\angle BOP = \angle DOQ$ .

3) Рассмотрим углы при параллельных прямых:
Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$ . Прямая $BD$ является секущей для этих параллельных прямых.
Углы $\angle PBO$ и $\angle QDO$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$ . По свойству параллельных прямых накрест лежащие углы равны: $\angle PBO = \angle QDO$ .

4) Таким образом, в треугольниках $BOP$ и $DOQ$ :
— $BO = OD$ (сторона);
— $\angle BOP = \angle DOQ$ (прилежащий угол);
— $\angle PBO = \angle QDO$ (прилежащий угол).
Следовательно, треугольники $BOP$ и $DOQ$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

5) Из равенства треугольников $\triangle BOP = \triangle DOQ$ следует равенство их соответствующих сторон. Значит, $BP = DQ$ .

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ