Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $A B C D$ проведена прямая, пересекающая стороны $A B$ и $C D$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что отрезки $B P$ и $D Q$ равны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

Для доказательства равенства отрезков $BP$ и $DQ$ рассмотрим треугольники, в которые они входят, и докажем их равенство.

1) Рассмотрим треугольники $BOP$ и $DOQ$ .
Вспомним свойства параллелограмма: диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $BD$ , то есть $BO = OD$ .

2) Рассмотрим углы при точке $O$ :
Углы $\angle BOP$ и $\angle DOQ$ являются вертикальными. По свойству вертикальных углов они равны: $\angle BOP = \angle DOQ$ .

3) Рассмотрим углы при параллельных прямых:
Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$ . Прямая $BD$ является секущей для этих параллельных прямых.
Углы $\angle PBO$ и $\angle QDO$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$ . По свойству параллельных прямых накрест лежащие углы равны: $\angle PBO = \angle QDO$ .

4) Таким образом, в треугольниках $BOP$ и $DOQ$ :
— $BO = OD$ (сторона);
— $\angle BOP = \angle DOQ$ (прилежащий угол);
— $\angle PBO = \angle QDO$ (прилежащий угол).
Следовательно, треугольники $BOP$ и $DOQ$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

5) Из равенства треугольников $\triangle BOP = \triangle DOQ$ следует равенство их соответствующих сторон. Значит, $BP = DQ$ .

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ