Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $A B C D$ проведена прямая, пересекающая стороны $A B$ и $C D$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что отрезки $B P$ и $D Q$ равны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

Для доказательства равенства отрезков $BP$ и $DQ$ рассмотрим треугольники, в которые они входят, и докажем их равенство.

1) Рассмотрим треугольники $BOP$ и $DOQ$ .
Вспомним свойства параллелограмма: диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $BD$ , то есть $BO = OD$ .

2) Рассмотрим углы при точке $O$ :
Углы $\angle BOP$ и $\angle DOQ$ являются вертикальными. По свойству вертикальных углов они равны: $\angle BOP = \angle DOQ$ .

3) Рассмотрим углы при параллельных прямых:
Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$ . Прямая $BD$ является секущей для этих параллельных прямых.
Углы $\angle PBO$ и $\angle QDO$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$ . По свойству параллельных прямых накрест лежащие углы равны: $\angle PBO = \angle QDO$ .

4) Таким образом, в треугольниках $BOP$ и $DOQ$ :
— $BO = OD$ (сторона);
— $\angle BOP = \angle DOQ$ (прилежащий угол);
— $\angle PBO = \angle QDO$ (прилежащий угол).
Следовательно, треугольники $BOP$ и $DOQ$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

5) Из равенства треугольников $\triangle BOP = \triangle DOQ$ следует равенство их соответствующих сторон. Значит, $BP = DQ$ .

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ