Задание №24 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $AA_1C$ и $BB_1C$. По условию $AA_1$ и $BB_1$ — высоты, значит, углы $\angle AA_1C = 90^\circ$ и $\angle BB_1C = 90^\circ$.

2. Заметим, что из точек $A_1$ и $B_1$ отрезок $AB$ виден под одним и тем же прямым углом ($\angle AA_1B = \angle AB_1B = 90^\circ$). Согласно геометрическому свойству, если отрезок виден из двух точек, лежащих по одну сторону от него, под равными углами, то эти две точки и концы отрезка лежат на одной окружности.

3. Таким образом, точки $A$, $B$, $A_1$ и $B_1$ лежат на одной окружности с диаметром $AB$.

4. В этой окружности углы $\angle BB_1A_1$ и $\angle BAA_1$ являются вписанными.

5. Оба этих угла опираются на одну и ту же дугу $BA_1$. По свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

6. Следовательно, $\angle BB_1A_1 = \angle BAA_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ