Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $v$ км/ч — скорость первого автомобиля. Тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна $v + 10$ км/ч. Обозначим всё расстояние между городами А и В за $2S$. Тогда половина пути равна $S$.

1. Составим выражение для времени движения первого автомобиля. Так как он проехал весь путь $2S$ с постоянной скоростью $v$, то его время в пути равно:
$t_1 = \frac{2S}{v}$.

2. Составим выражение для времени движения второго автомобиля. Он проехал первую половину пути $S$ со скоростью $72$ км/ч, а вторую половину $S$ — со скоростью $v + 10$ км/ч. Его общее время в пути равно:
$t_2 = \frac{S}{72} + \frac{S}{v + 10}$.

3. По условию задачи автомобили прибыли в пункт В одновременно, значит, их времена в пути равны:
$\frac{2S}{v} = \frac{S}{72} + \frac{S}{v + 10}$.

4. Разделим обе части уравнения на $S$ (так как $S \neq 0$):
$\frac{2}{v} = \frac{1}{72} + \frac{1}{v + 10}$.

5. Приведём дроби в правой части к общему знаменателю:
$\frac{2}{v} = \frac{v + 10 + 72}{72(v + 10)}$
$\frac{2}{v} = \frac{v + 82}{72v + 720}$.

6. Воспользуемся основным свойством пропорции (перемножим "крест-накрест"):
$2 \cdot (72v + 720) = v \cdot (v + 82)$
$144v + 1440 = v^2 + 82v$.

7. Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$v^2 + 82v - 144v - 1440 = 0$
$v^2 - 62v - 1440 = 0$.

8. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-62)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1440) = 3844 + 5760 = 9604$.
$\sqrt{D} = \sqrt{9604} = 98$.

9. Найдём корни уравнения:
$v_1 = \frac{62 + 98}{2} = \frac{160}{2} = 80$
$v_2 = \frac{62 - 98}{2} = \frac{-36}{2} = -18$.

10. Так как скорость автомобиля должна быть положительной величиной, корень $v_2 = -18$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость первого автомобиля равна $80$ км/ч.

Ответ: 80

Источник: ФИПИ