Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию угол $B$ — прямой ($\angle ABC = 90^\circ$). Отрезок $BH$ является высотой, проведённой к гипотенузе $AC$.

2. Рассмотрим окружность, построенную на высоте $BH$ как на диаметре. По условию точки $P$ и $K$ лежат на этой окружности, так как она пересекает стороны $AB$ и $CB$.

3. Соединим точки $P$, $B$ и $K$. Рассмотрим угол $PBK$. Так как $P$ лежит на стороне $AB$, а $K$ — на стороне $CB$, то угол $PBK$ совпадает с углом $ABC$. Следовательно, $\angle PBK = 90^\circ$.

4. Угол $PBK$ является вписанным в данную окружность. Известно, что вписанный угол, равный $90^\circ$, опирается на диаметр окружности. Значит, отрезок $PK$, соединяющий точки $P$ и $K$, является диаметром этой окружности.

5. В условии сказано, что $BH$ также является диаметром этой же окружности. В любой окружности все диаметры равны между собой.

6. Таким образом, $PK = BH$. Так как по условию $BH = 14$, то и $PK = 14$.

Ответ: 14

Источник: ФИПИ