Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 4x^2 + y = 9 \\ 8x^2 - y = 3 \end{cases}$

Шаг 1. Выбор метода решения.
Заметим, что в первом уравнении переменная $y$ входит с коэффициентом $1$, а во втором — с коэффициентом $-1$. В таком случае удобнее всего воспользоваться методом сложения. При сложении левых и правых частей уравнений переменная $y$ взаимно уничтожится.

Шаг 2. Складываем уравнения.
$(4x^2 + y) + (8x^2 - y) = 9 + 3$
$4x^2 + 8x^2 + y - y = 12$
$12x^2 = 12$

Шаг 3. Находим значения $x$.
Разделим обе части уравнения на $12$:
$x^2 = 1$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 1$
$x_2 = -1$

Шаг 4. Находим значения $y$.
Для этого подставим найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Возьмём первое уравнение: $4x^2 + y = 9$. Выразим из него $y$:
$y = 9 - 4x^2$

1) Если $x_1 = 1$, то:
$y_1 = 9 - 4 \cdot 1^2 = 9 - 4 = 5$.
Получаем первую пару решений: $(1; 5)$.

2) Если $x_2 = -1$, то:
$y_2 = 9 - 4 \cdot (-1)^2 = 9 - 4 \cdot 1 = 5$.
Получаем вторую пару решений: $(-1; 5)$.

Шаг 5. Записываем ответ.
Решением системы являются пары чисел $(x; y)$.

Ответ: (1; 5), (-1; 5)

Источник: ФИПИ