Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде (собственная скорость). По условию задачи скорость течения реки равна $5$ км/ч. Тогда:

1) Скорость теплохода по течению реки равна $x + 5$ км/ч.
2) Скорость теплохода против течения реки равна $x - 5$ км/ч.

Теплоход прошёл $80$ км в одну сторону и $80$ км в обратную. Составим выражения для времени, затраченного на движение:
— Время в пути по течению: $\frac{80}{x + 5}$ ч.
— Время в пути против течения: $\frac{80}{x - 5}$ ч.

Общее время, которое теплоход отсутствовал в пункте отправления, составляет $35$ часов. Из этого времени $23$ часа он стоял. Значит, чистое время в движении составляет:
$35 - 23 = 12$ ч.

Составим уравнение, сложив время движения по течению и против течения:
$\frac{80}{x + 5} + \frac{80}{x - 5} = 12$

Разделим обе части уравнения на $4$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{20}{x + 5} + \frac{20}{x - 5} = 3$

Приведём дроби к общему знаменателю $(x + 5)(x - 5) = x^2 - 25$:
$\frac{20(x - 5) + 20(x + 5)}{x^2 - 25} = 3$
$\frac{20x - 100 + 20x + 100}{x^2 - 25} = 3$
$\frac{40x}{x^2 - 25} = 3$

Перейдём к линейно-квадратному виду (учитывая, что $x > 5$):
$3(x^2 - 25) = 40x$
$3x^2 - 75 = 40x$
$3x^2 - 40x - 75 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D$:
$D = (-40)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-75) = 1600 + 900 = 2500$
$\sqrt{D} = 50$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{40 + 50}{2 \cdot 3} = \frac{90}{6} = 15$
$x_2 = \frac{40 - 50}{6} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$

Так как скорость теплохода не может быть отрицательной, нам подходит только корень $x = 15$.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ