Задание 21

Текстовая задача · 190 заданий

Задание №21
№21
Моторная лодка прошла против течения реки 297 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течен…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 341 кг свежих фруктов?
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Два велосипедиста одновременно отправляются в 224-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выпо…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Свежие фрукты содержат 79 % воды, а высушенные — 16 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Два велосипедиста одновременно отправляются в 180-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 5 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 3 к…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А,…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорост…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 57 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду,…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объё…
Текстовые задачи

Задание №21 — Уравнения и неравенства

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода
в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится
23 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия из него.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде (собственная скорость). По условию задачи скорость течения реки равна $5$ км/ч. Тогда:

1) Скорость теплохода по течению реки равна $x + 5$ км/ч.
2) Скорость теплохода против течения реки равна $x - 5$ км/ч.

Теплоход прошёл $80$ км в одну сторону и $80$ км в обратную. Составим выражения для времени, затраченного на движение:
— Время в пути по течению: $\frac{80}{x + 5}$ ч.
— Время в пути против течения: $\frac{80}{x - 5}$ ч.

Общее время, которое теплоход отсутствовал в пункте отправления, составляет $35$ часов. Из этого времени $23$ часа он стоял. Значит, чистое время в движении составляет:
$35 - 23 = 12$ ч.

Составим уравнение, сложив время движения по течению и против течения:
$\frac{80}{x + 5} + \frac{80}{x - 5} = 12$

Разделим обе части уравнения на $4$ , чтобы упростить вычисления:
$\frac{20}{x + 5} + \frac{20}{x - 5} = 3$

Приведём дроби к общему знаменателю $(x + 5)(x - 5) = x^2 - 25$ :
$\frac{20(x - 5) + 20(x + 5)}{x^2 - 25} = 3$
$\frac{20x - 100 + 20x + 100}{x^2 - 25} = 3$
$\frac{40x}{x^2 - 25} = 3$

Перейдём к линейно-квадратному виду (учитывая, что $x > 5$ ):
$3(x^2 - 25) = 40x$
$3x^2 - 75 = 40x$
$3x^2 - 40x - 75 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D$ :
$D = (-40)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-75) = 1600 + 900 = 2500$
$\sqrt{D} = 50$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{40 + 50}{2 \cdot 3} = \frac{90}{6} = 15$
$x_2 = \frac{40 - 50}{6} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$

Так как скорость теплохода не может быть отрицательной, нам подходит только корень $x = 15$ .

Ответ: 15

Источник: ФИПИ