Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ км/ч — скорость первого автомобиля. Тогда, так как скорость первого на $20$ км/ч больше скорости второго, скорость второго автомобиля будет равна $x - 20$ км/ч.

Оба автомобиля проходят путь, равный $990$ км. Вспомним формулу времени: $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — путь, а $v$ — скорость.

1) Время, затраченное первым автомобилем: $t_1 = \frac{990}{x}$ ч.
2) Время, затраченное вторым автомобилем: $t_2 = \frac{990}{x - 20}$ ч.

По условию задачи первый автомобиль прибыл к финишу на $2$ часа раньше второго. Это значит, что время второго автомобиля больше времени первого на $2$ часа. Составим уравнение:
$\frac{990}{x - 20} - \frac{990}{x} = 2$

Разделим обе части уравнения на $2$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{495}{x - 20} - \frac{495}{x} = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x - 20)$. При условии, что $x > 20$, перейдем к целому уравнению:
$495x - 495(x - 20) = x(x - 20)$
$495x - 495x + 9900 = x^2 - 20x$
$9900 = x^2 - 20x$
$x^2 - 20x - 9900 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D$:
$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9900) = 400 + 39600 = 40000$
$\sqrt{D} = \sqrt{40000} = 200$

Находим корни уравнения:
$x_1 = \frac{20 + 200}{2} = \frac{220}{2} = 110$
$x_2 = \frac{20 - 200}{2} = \frac{-180}{2} = -90$

Так как скорость автомобиля не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -90$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость первого автомобиля равна $110$ км/ч.

Ответ: 110

Источник: ФИПИ