Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость моторной лодки в неподвижной воде. По условию задачи скорость течения реки равна $5$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(x + 5)$ км/ч, а скорость лодки против течения — $(x - 5)$ км/ч. Заметим, что $x > 5$, так как лодка смогла вернуться обратно против течения.

1. Сначала найдём время, которое плот находился в пути. Плот движется со скоростью течения реки, то есть $5$ км/ч. По условию плот проплыл $25$ км.
Время движения плота: $t_{плота} = \frac{25}{5} = 5$ часов.

2. Лодка вышла из пункта А на $1$ час позже плота и вернулась в пункт А в тот же момент, когда плот закончил своё движение. Значит, лодка находилась в пути на $1$ час меньше, чем плот:
$t_{лодки} = 5 - 1 = 4$ часа.

3. Составим уравнение для времени движения лодки. Лодка прошла $48$ км по течению и $48$ км против течения.
Время в пути по течению: $\frac{48}{x + 5}$ часов.
Время в пути против течения: $\frac{48}{x - 5}$ часов.
Общее время движения лодки равно $4$:
$\frac{48}{x + 5} + \frac{48}{x - 5} = 4$

4. Решим полученное уравнение. Разделим обе части уравнения на $4$:
$\frac{12}{x + 5} + \frac{12}{x - 5} = 1$
Приведём дроби к общему знаменателю $(x + 5)(x - 5)$:
$\frac{12(x - 5) + 12(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = 1$
$\frac{12x - 60 + 12x + 60}{x^2 - 25} = 1$
$\frac{24x}{x^2 - 25} = 1$
$x^2 - 25 = 24x$
$x^2 - 24x - 25 = 0$

5. Найдём корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта или по теореме Виета:
$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676 = 26^2$
$x_1 = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$x_2 = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

6. Так как скорость лодки не может быть отрицательной, корень $x = -1$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, собственная скорость лодки равна $25$ км/ч.

Ответ: 25 км/ч

Источник: ФИПИ