Задание №23 — Геометрия

Решение.

Пусть в прямоугольном треугольнике катеты равны $a = 15$ и $b = 20$. Обозначим гипотенузу как $c$, а высоту, проведённую к ней, как $h$.

Шаг 1. Найдем гипотенузу треугольника.
По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$c^2 = a^2 + b^2$
Подставим значения катетов:
$c^2 = 15^2 + 20^2$
$c^2 = 225 + 400$
$c^2 = 625$
$c = \sqrt{625} = 25$.

Шаг 2. Найдем площадь треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить как половину произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$
$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 15 \cdot 10 = 150$.

Шаг 3. Найдем высоту, проведённую к гипотенузе.
С другой стороны, площадь любого треугольника равна половине произведения его основания на высоту. В нашем случае основанием является гипотенуза $c$, а высотой — $h$:
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$
Подставим известные нам значения площади и гипотенузы в эту формулу:
$150 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot h$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
$300 = 25 \cdot h$
Теперь найдем $h$:
$h = \frac{300}{25}$
$h = 12$.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ