Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ км/ч — скорость второго велосипедиста (который пришёл к финишу вторым). Тогда скорость первого велосипедиста, по условию задачи, равна $x + 3$ км/ч.

Оба велосипедиста проехали дистанцию $S = 208$ км. Вспомним формулу времени: $t = \frac{S}{v}$.
Время, затраченное вторым велосипедистом: $t_2 = \frac{208}{x}$ часов.
Время, затраченное первым велосипедистом: $t_1 = \frac{208}{x + 3}$ часов.

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Это значит, что время второго велосипедиста больше времени первого на 3 часа. Составим уравнение:
$\frac{208}{x} - \frac{208}{x + 3} = 3$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 3)$:
$\frac{208(x + 3) - 208x}{x(x + 3)} = 3$
$\frac{208x + 624 - 208x}{x^2 + 3x} = 3$
$\frac{624}{x^2 + 3x} = 3$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения вычислений:
$\frac{208}{x^2 + 3x} = 1$
Отсюда получаем квадратное уравнение:
$x^2 + 3x = 208$
$x^2 + 3x - 208 = 0$

Решим уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-208) = 9 + 832 = 841$
$\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-3 + 29}{2 \cdot 1} = \frac{26}{2} = 13$
$x_2 = \frac{-3 - 29}{2 \cdot 1} = \frac{-32}{2} = -16$

Так как скорость велосипедиста не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -16$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость второго велосипедиста равна 13 км/ч.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ