Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость первого автомобиля. По условию задачи скорость второго автомобиля на второй половине пути на 9 км/ч больше скорости первого, то есть она равна $(x + 9)$ км/ч. Скорость второго автомобиля на первой половине пути составляет 56 км/ч.

Обозначим весь путь между городами А и В за $S$. Тогда первая половина пути равна $\frac{S}{2}$, и вторая половина пути также равна $\frac{S}{2}$.

Составим выражения для времени, затраченного каждым автомобилем на дорогу:
1) Первый автомобиль проехал весь путь $S$ со скоростью $x$. Его время: $t_1 = \frac{S}{x}$.
2) Второй автомобиль проехал первую половину пути за $\frac{S/2}{56} = \frac{S}{112}$ часов, а вторую половину — за $\frac{S/2}{x+9} = \frac{S}{2(x+9)}$ часов. Его общее время: $t_2 = \frac{S}{112} + \frac{S}{2(x+9)}$.

Так как автомобили выехали одновременно и прибыли в пункт В одновременно, их времена в пути равны: $t_1 = t_2$.
Получаем уравнение:
$\frac{S}{x} = \frac{S}{112} + \frac{S}{2(x+9)}$

Разделим обе части уравнения на $S$ (так как $S \neq 0$):
$\frac{1}{x} = \frac{1}{112} + \frac{1}{2(x+9)}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $112(x+9)$:
$\frac{1}{x} = \frac{x+9 + 56}{112(x+9)}$
$\frac{1}{x} = \frac{x+65}{112x + 1008}$

Воспользуемся основным свойством пропорции (перемножим крест-накрест):
$112x + 1008 = x(x + 65)$
$112x + 1008 = x^2 + 65x$
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 47x - 1008 = 0$

Найдем дискриминант уравнения:
$D = (-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1008) = 2209 + 4032 = 6241$
$\sqrt{D} = \sqrt{6241} = 79$

Находим корни уравнения:
$x_1 = \frac{47 + 79}{2} = \frac{126}{2} = 63$
$x_2 = \frac{47 - 79}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Так как скорость автомобиля не может быть отрицательной, нам подходит только корень $x = 63$.

Ответ: 63 км/ч.

Источник: ФИПИ