Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение имеет вид $x^{4} = (4x - 5)^{2}$. Заметим, что левую часть уравнения можно представить как квадрат выражения $x^{2}$. Перепишем уравнение:

$(x^{2})^{2} = (4x - 5)^{2}$

Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы воспользоваться формулой разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:

$(x^{2})^{2} - (4x - 5)^{2} = 0$

Разложим левую часть на множители:

$(x^{2} - (4x - 5))(x^{2} + (4x - 5)) = 0$

Упростим выражения в скобках:

$(x^{2} - 4x + 5)(x^{2} + 4x - 5) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x^{2} - 4x + 5 = 0$
Найдём дискриминант этого квадратного уравнения по формуле $D = b^{2} - 4ac$:
$D = (-4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Так как $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

2) $x^{2} + 4x - 5 = 0$
Найдём корни этого уравнения. Можно воспользоваться теоремой Виета или формулой дискриминанта:
$D = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.
Корни вычисляются по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1} = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_{2} = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: $1$ и $-5$.

Ответ: -5; 1

Источник: ФИПИ