Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $O$ — центр окружности, лежащий на стороне $AC$. Так как окружность проходит через точку $C$, то отрезок $OC$ является её радиусом. Обозначим радиус окружности через $R$. Тогда $OC = R$.

2. Пусть окружность пересекает сторону $AC$ в некоторой точке $D$. Тогда отрезок $CD$ является диаметром окружности, и $CD = 2R$. Поскольку точка $O$ лежит на $AC$, а $C$ — точка на окружности, то расстояние от $A$ до центра окружности $O$ можно выразить как $AO = AC - OC = 8 - R$.

3. По условию прямая $AB$ касается окружности в точке $B$. По свойству касательной, проведённой из точки вне окружности, квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины секущей на длину её внешней части.

4. В нашей задаче $AB$ — касательная, а $AC$ — секущая. Пусть окружность пересекает отрезок $AC$ в точках $C$ и $K$. Тогда по теореме о касательной и секущей имеем:
$AB^2 = AK \cdot AC$.

5. Найдём длину отрезка $AK$. Так как $AC = 8$, а хорда $KC$ является диаметром окружности (поскольку центр лежит на $AC$), то $KC = 2R$. Тогда $AK = AC - KC = 8 - 2R$.

6. Подставим известные значения в формулу $AB^2 = AK \cdot AC$:
$2^2 = (8 - 2R) \cdot 8$.
$4 = 64 - 16R$.

7. Решим полученное уравнение относительно $R$:
$16R = 64 - 4$;
$16R = 60$;
$R = \frac{60}{16} = \frac{15}{4} = 3,75$.

8. Нам необходимо найти диаметр окружности. Диаметр $D = 2R$:
$D = 2 \cdot 3,75 = 7,5$.

Ответ: 7,5

Источник: ФИПИ