Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23Среднее
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Среднее
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD…
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Окружность с центром на стороне $A C$ треугольника $A B C$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $A B$ в точке $B$ . Найдите диаметр окружности, если $A B = 2$ , $A C = 8$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Пусть $O$ — центр окружности, лежащий на стороне $AC$ . Так как окружность проходит через точку $C$ , то отрезок $OC$ является её радиусом. Обозначим радиус окружности через $R$ . Тогда $OC = R$ .

2. Пусть окружность пересекает сторону $AC$ в некоторой точке $D$ . Тогда отрезок $CD$ является диаметром окружности, и $CD = 2R$ . Поскольку точка $O$ лежит на $AC$ , а $C$ — точка на окружности, то расстояние от $A$ до центра окружности $O$ можно выразить как $AO = AC - OC = 8 - R$ .

3. По условию прямая $AB$ касается окружности в точке $B$ . По свойству касательной, проведённой из точки вне окружности, квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины секущей на длину её внешней части.

4. В нашей задаче $AB$ — касательная, а $AC$ — секущая. Пусть окружность пересекает отрезок $AC$ в точках $C$ и $K$ . Тогда по теореме о касательной и секущей имеем:
$AB^2 = AK \cdot AC$ .

5. Найдём длину отрезка $AK$ . Так как $AC = 8$ , а хорда $KC$ является диаметром окружности (поскольку центр лежит на $AC$ ), то $KC = 2R$ . Тогда $AK = AC - KC = 8 - 2R$ .

6. Подставим известные значения в формулу $AB^2 = AK \cdot AC$ :
$2^2 = (8 - 2R) \cdot 8$ .
$4 = 64 - 16R$ .

7. Решим полученное уравнение относительно $R$ :
$16R = 64 - 4$ ;
$16R = 60$ ;
$R = \frac{60}{16} = \frac{15}{4} = 3,75$ .

8. Нам необходимо найти диаметр окружности. Диаметр $D = 2R$ :
$D = 2 \cdot 3,75 = 7,5$ .

Ответ: 7,5

Источник: ФИПИ