Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23
Высота A H ромба A B C D делит сторону C D на отрезки D H = 21 и C H = 8 . Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23
Отрезки A B и D C лежат на параллельных прямых, а отрезки A C и B D пересекаются в точке M . Найдите M C , если A B = 16 , D C = 24 , A C = 25 .
Треугольник
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 32 , B F = 24 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Прямая, параллельная основаниям трапеции A B C D , пересекает её боковые стороны A B и C D в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка E F ,…
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 24 , B F = 7 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 7 , C K = 12 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Найдите боковую сторону A B трапеции A B C D , если углы A B C и B C D равны соответственно 30 ° и 120 ° , а C D = 25 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 12 , B F = 5 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника A B C к гипотенузе A C . Найдите A B , если A H = 6 , A C = 24…
Треугольник
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 9 , C K = 15 .
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Окружность с центром на стороне $A C$ треугольника $A B C$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $A B$ в точке $B$ . Найдите диаметр окружности, если $A B = 2$ , $A C = 8$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Пусть $O$ — центр окружности, лежащий на стороне $AC$ . Так как окружность проходит через точку $C$ , то отрезок $OC$ является её радиусом. Обозначим радиус окружности через $R$ . Тогда $OC = R$ .

2. Пусть окружность пересекает сторону $AC$ в некоторой точке $D$ . Тогда отрезок $CD$ является диаметром окружности, и $CD = 2R$ . Поскольку точка $O$ лежит на $AC$ , а $C$ — точка на окружности, то расстояние от $A$ до центра окружности $O$ можно выразить как $AO = AC - OC = 8 - R$ .

3. По условию прямая $AB$ касается окружности в точке $B$ . По свойству касательной, проведённой из точки вне окружности, квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины секущей на длину её внешней части.

4. В нашей задаче $AB$ — касательная, а $AC$ — секущая. Пусть окружность пересекает отрезок $AC$ в точках $C$ и $K$ . Тогда по теореме о касательной и секущей имеем:
$AB^2 = AK \cdot AC$ .

5. Найдём длину отрезка $AK$ . Так как $AC = 8$ , а хорда $KC$ является диаметром окружности (поскольку центр лежит на $AC$ ), то $KC = 2R$ . Тогда $AK = AC - KC = 8 - 2R$ .

6. Подставим известные значения в формулу $AB^2 = AK \cdot AC$ :
$2^2 = (8 - 2R) \cdot 8$ .
$4 = 64 - 16R$ .

7. Решим полученное уравнение относительно $R$ :
$16R = 64 - 4$ ;
$16R = 60$ ;
$R = \frac{60}{16} = \frac{15}{4} = 3,75$ .

8. Нам необходимо найти диаметр окружности. Диаметр $D = 2R$ :
$D = 2 \cdot 3,75 = 7,5$ .

Ответ: 7,5

Источник: ФИПИ