Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Пусть точка $O$ — центр окружности. Проведём перпендикуляры из центра окружности к хордам: $OK \perp AB$ и $OH \perp CD$. По условию задачи, расстояние от центра до хорды $AB$ равно 24, значит, $OK = 24$. Нам необходимо найти длину отрезка $OH$.

2. Вспомним важное свойство: перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам.
Следовательно, точка $K$ — середина $AB$, а точка $H$ — середина $CD$.
Вычислим длины отрезков $AK$ и $CH$:
$AK = \frac{AB}{2} = \frac{14}{2} = 7$;
$CH = \frac{CD}{2} = \frac{48}{2} = 24$.

3. Соединим центр окружности $O$ с точками $A$ и $C$. Отрезки $OA$ и $OC$ являются радиусами окружности, поэтому $OA = OC = R$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OKA$ (угол $K = 90^\circ$). По теореме Пифагора:
$OA^2 = AK^2 + OK^2$
$R^2 = 7^2 + 24^2$
$R^2 = 49 + 576 = 625$
$R = \sqrt{625} = 25$.

5. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OHC$ (угол $H = 90^\circ$). В нём нам известны гипотенуза $OC = R = 25$ и катет $CH = 24$. Снова воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти искомое расстояние $OH$:
$OH^2 + CH^2 = OC^2$
$OH^2 + 24^2 = 25^2$
$OH^2 + 576 = 625$
$OH^2 = 625 - 576$
$OH^2 = 49$
$OH = \sqrt{49} = 7$.

Таким образом, расстояние от центра окружности до хорды $CD$ равно 7.

Ответ: 7

Источник: ФИПИ