Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ литров в минуту — скорость наполнения (производительность) первой трубы. Тогда, согласно условию, вторая труба пропускает на 15 литров в минуту больше, то есть её производительность равна $x + 15$ литров в минуту.

Шаг 1. Выразим время работы каждой трубы.
Объём резервуара составляет 100 литров. Чтобы найти время, нужно объём разделить на производительность.
Время работы первой трубы: $t_1 = \frac{100}{x}$ минут.
Время работы второй трубы: $t_2 = \frac{100}{x + 15}$ минут.

Шаг 2. Составим уравнение.
По условию первая труба заполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Это значит, что разница между временем первой и второй трубы равна 6:
$\frac{100}{x} - \frac{100}{x + 15} = 6$

Шаг 3. Решим полученное уравнение.
Приведём дроби к общему знаменателю $x(x + 15)$:
$\frac{100(x + 15) - 100x}{x(x + 15)} = 6$
$\frac{100x + 1500 - 100x}{x^2 + 15x} = 6$
$\frac{1500}{x^2 + 15x} = 6$

Разделим обе части уравнения на 6 для упрощения вычислений:
$\frac{250}{x^2 + 15x} = 1$
Отсюда: $x^2 + 15x = 250$
Перенесём всё в левую часть: $x^2 + 15x - 250 = 0$

Шаг 4. Найдём корни квадратного уравнения.
Воспользуемся формулой дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-250) = 225 + 1000 = 1225$
$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Найдём корни:
$x_1 = \frac{-15 + 35}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-15 - 35}{2} = \frac{-50}{2} = -25$

Шаг 5. Интерпретация результата.
Так как производительность трубы не может быть отрицательной величиной, корень $x = -25$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первая труба пропускает 10 литров воды в минуту.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ